画像解析

質問

画像解析初心者です。

3D空間の物体が、中が二つの相(A相、B相)からなっていて、物体の中にランダムに空孔があるとします。
この空孔は、統計的に等方的であって、どの断面をとってもA相とB相の断面積比は等しいとします。

この場合、A相とB相の断面積比から、体積比を近似的に求めたいです。
どのような仮定が必要で、どのような計算をすればよいのでしょうか。

文が読みにくいかもしれませんで済みません。一部でも導出を教えていただく、あるいは参考になるサイトを教えていただくと助かります。

回答No.2

tgb

直感的に決まらないのでは？と考えたので興味を持ち、考えてみました。

　一般的に決まらないと言うことを示すため、特別な例を考えます。

　等方的というのは物体の任意の点Ｐでこの点を中心とする適当な大きさの球領域を考え半径をＲとした時、Ｐを中心とする任意の方向の円(半径は球領域の半径に一致させる＝Ｒ)による切断面を考えてＡ相とＢ相の球の切断面の合計断面積の比が一定と言うことになります。
このような状況にマッチさせるため、球内のＡ相とＢ相をそれぞれ半径ｒＡ、ｒＢの球を領域球内に分布させることにより作り出すこととします。等方的であるようにするためには例えばそれぞれの相の各球の中心の配置をＰからｒの距離にある球面上で一様に分布するようにする(その球面上のどの位置でも適当に小さな同一面積の面を考えた時、球の数が不変である。この数はｒによって変わっても良い)ことで可能です。更にＡ相の球とＢ相の球の配置をいつも対になるように配置する事が可能と考えられ、そうすることで断面上でのそれぞれの相の球の配置の相違を考慮しないで済むようにできると考えられます。
　以上のように各球を分布させた上で切断面上の各相の円の半径を考えます。各相の円は中心を通るように切断される場合やそうでない場合があるのでその分布の頻度をｆ(ｓ)とします。
ここでｓ＝０～１であり、
ｓ＝ｒ／ｒＡ　またはｓ＝ｒ／ｒＢ
です。ｆ(ｓ)は一般的には相Ａと相Ｂでは異なった関数形になりますが、今回の場合は一致します(各相の球を対になるように配置した)。また、等方性によりどの切断面をとっても一致します。
各相の球領域内の球の総数は一致(＝Ｎ)します。更に切断面内の大小の円の総数についても一致(＝ｎ)します。
従って球領域内のＡ相、Ｂ相の球の体積比は
Ｎ・3π/4・rA^3　：　Ｎ・3π/4・rB^3
また、切断面上の各相の円の面積比は
ｎ・πrA^2∫f(s)ds　：　ｎ・πrB^2∫f(s)ds
従って面積比をp　体積比をqとすればq=p^(3/2)
と表されます。

　上の議論では体積比が面積比から求められる形になっています。
しかし、一般的なものではありません。そこで上の結果を利用して一般的には異なることを示します。
上ではＡ相とＢ相に着目して目的が達成されたとしています。球領域にはＡ相、Ｂ相とともにＡ相でもＢ相でもない空隙(空孔)の部分(Ｃ相とします)が存在します。上ではＡ相、Ｂ相とも等方であるとしましたがこのことからＣ相も等方と考えられます。従ってＡ相とＢ相について一般的に言えるならＡ相とＣ相についても全く同様のことが成り立つはずですが、Ｃ相は切断面の一定面積や球領域の一定体積のＡ相とＢ相の残りの部分の面積・体積なのでＡ相とＣ相について体積比が面積比のみの関数で表されると言うことはあり得ません。
　このことは体積比と面積比の関係が各相の分布様態に依存することを示しています。等方だからと言ってこの条件のみで一意に決まるものではないことを示しています。
　逆に言えば特定の条件を満たせば体積比が面積比から求められると言う可能性もなくはない(上の例のように)のですが、質問者さんが対象としているものがそうなのかは判定は難しいように思います。

回答No.1

stomachman

数学的空間ではなくて、たかだか有限のサイズを持つ分子で出来ている「物体」の話ですよね。無限小のサイズを考えると意味がなくなってしまう。だから、あんまり難しく考えなくても宜しいのではないか。強いて数学っぽく書いてみると、「どの断面をとってもA相とB相の断面積比は等しい」のであれば、A相ならば1, B相ならば0の値を取る関数f(x,y,z)について、断面積比aはzによらず適当な領域についての定積分で
　　a = ∫∫f(x,y,z) dxdy/∫∫dxdy
と書けて、だから、体積比vは
　　v = ∫∫∫f(x,y,z) dxdy/∫∫dxdydz = a
だ、というぐらいの説明で良いのでは？
　なお、金太郎アメのような物でもこれは成立つでしょうから、「統計的に等方的」というのは過剰に強い仮定ではないでしょうか。
　ところで、鉱物の断面を解析する方法論に関しては、かなり古い本で「計量形態学」（内田老鶴圃 刊）という論文集のようなのを持ってますけれども、有用と言えるほどの内容はほとんど含まれていませんし、その後大きな進展があったとも思えません。
　むしろ、相の分離が生じる自発的対称性の破れのメカニズムを仮定してそこからどんな断面の性状が生じるかを演繹しておいて、断面の観察を得たらそれが生じたメカニズムを逆に推定する、という逆問題のアプローチの方が重要かも知れません。