複素積分について
複素数cと実数ξとし、
f(z)=(e^(iξz))/(z-c)
という複素関数を考えます。
lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π}
として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。
ここで、
(1)Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分
(2)Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、
∫[-r,r] f(x)dx , r→∞
という問題なのですが、(1)については、
)Im c>0のとき
γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。
また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。
)Im c<0のとき
γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。
また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。
となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか?
また、(2)については、
∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz
=∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx
と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか?どなたかお力添えよろしくお願いします。
読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。