大学入試 数学「解けない漸化式の極限」について
- 大学入試の数学問題で出題される「解けない漸化式の極限」について、解けないと判断する基準について教えていただけないでしょうか。
- 大学入試で出題される数学の問題において、解けない漸化式の極限を見分ける方法を知りたいです。
- 大学入試の数学問題で、解けない漸化式の極限を判断する基準についてアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
大学入試 数学「解けない漸化式の極限」について
いつも大変お世話になっております。 以下の内容についてアドバイスいただけると助かります。 大学の入試問題で「解けない漸化式の極限」などのテーマで参考書や問題集にある問題についてなのですが、私が確認したいのは、ある漸化式を見たときに、それが「解けないのだ」と判断する基準です。確かに、問題の流れ（誘導形式になっている）から、これは解けない漸化式のパターンだなと判断することもできますし、また、自分の知っている「解ける漸化式の型」になければ、それは解けないのではと考えることもできると思いますが、漸化式そのものの特徴から、これは解けないと疑う基準があれば教えていただけないでしょうか。 お忙しいところ大変もうしわけございませんがよろしくお願いします。
- kunkunken
- お礼率100% (199/199)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
参考書や問題集にある「解けない漸化式の極限」の解法パターンを使うにあたって、 その漸化式が本当に「解けない」かどうかを突き詰めて考える必要は全くありません。 解がよく知られた簡単な式になる以外の漸化式には、その技法が使えるかも知れない …と考えてみればよいと思います。たとえ解が解析的に表示できたとしても、それが 相当複雑な式であれば、極限を求めるときに又ひと仕事ですよね？ そこを迂回して、 一般項の表示をしないまま極限を求める解法があれば、役に立つ場合はある訳です。 解いてみたほうが簡単かどうかは、慣れからくる現場の勘で判断するしかないでしょう。
関連するQ&A
- 数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について
数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について 使っている問題集の解説に 数列{a_n}について、 漸化式の不動点αと0<k<1を満たす定数kがあって、|a_n-α|<k<|a_(n-1)-α| ならば、 lim(n→∞)=α とありました。 証明はわかりました。 これについて、逆は真ですか？（書き方から偽という感じですが…） 偽なら、反例もお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式と極限の問題です。
漸化式と極限の問題です。 a(1)=1,a(2)=7/3,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0によって定義される数列{a(n)}について、lim(n→∞)a(n)を求めよ。 という問題です。 a(n+1)-a(n)=4/3^nというところまでは求められたのですがここからどうしたらよいか分かりません。教えて頂けたら嬉しいです。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の一部が分かりません。
漸化式の一部が分かりません。 ご助力願います。 問題は数列{An}の極限を示せ、です。 A(n+1)=√(An+2),(n=1,2,3…) A1=C , C>=-2 が与式です。 その過程で "√(An+2)>=0より√(An+2)+2>=2"という文言があるのですが、 この部分だけ理解できません。 極限があるとして,lim[n→∞]A(n+1) = lim[n→∞]An = xとする。 漸化式の極限はx=√(x+2)⇔x^2=x+2 , x>0 よりx=2 lim[n→∞] A(n+1)=√(An+2) = 2 より、√(An+2)>2 の時に減少し、√(An+2)<2の時に増加する。 A1>=-2より、√(An+2)>=0 (n=1,2,3…) という解釈で√(An+2)>=0と考えても宜しいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学入試数学、力学系てなんですか？教えてください！
こんにちは。数IIIの勉強をしていて、ずっと疑問に思っていることがあり、 どこを調べても載っていないので、質問させて頂きました！ 参考書に、「北大（北海道大学）は何回も力学系の問題が出題されている ので、重点的に演習するように」と書かれているのですが、”力学系”その ものの意味が分からなくて困っています。 参考書、問題集を可能な限り考えてみると、どうやら数列の漸化式や、 ひょっとすると行列？も含んでいそうですが、とにかくわからないので、 努力しようがありません。大学入試の”力学系”の典型的な問題など がわかれば合わせて教えて下さい！ こんな感じが力学系だよ、のような高校生でも分かるような説明をして くれると嬉しいです。よろしくお願いします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- [高校数学III]一般項が求まらない２項間漸化式の極限
一般項が求まらない(均衡値は求まる)２項間漸化式の極限の問題について、いくつか質問があります。 (質問１) このタイプの問題は定石のようなものがあるようで、 最初に均衡値αを求めて 最終的にlim[n->∞]|a_n-α|=0 を示せばよい。 と書かれています。 ただ、この解法には意味のようなものが書いておらず、なぜそんな事をするのかが今一つ分かりません。 この解法には数学的な意味だとかこの解法を採用する必然性だとかは特に無い、所謂テクニックのようなものなのでしょうか？ (質問２) 上の解法の多くは結論部分あたりで、 lim[n->∞]|a_n-α|=0 ∴lim[n->∞]a_n=α…(答) という論理展開がされていますが、なぜそう言えるのか分かりません。 n->∞のときa_nが収束することを示す必要があるのではないかと思うのですが、これは証明なしで用いても良いのでしょうか？ もっとも、このタイプの問題は極限を求めさせる前に有界であることと単調数列であることを示させる小問があることが多いみたいですが、これらの事からn->∞のときa_nが収束することは事実上証明されていると見てよいのでしょうか？ (質問３) いくつかの参考書にはこのタイプの問題の別解や参考として、 n->∞のときa_nが収束することを示してから lim[n->∞]a_n=lim[n->]a_(n+1)=αとして与漸化式より均衡値を求め、それを(答)とする解法が載っています。 ただ、(質問１)の解法のみを採用する参考書では「初めに求めたαをそのまま(答)としてはならない」と注意書きのあるものもあります。 この、αをそのまま(答)とする解法は大学入試で使ってはいけないのでしょうか？ この解法が使えるとすれば、多くの参考書で(質問１)の解法が採用されている意義が余計に分からなくなりますし、使えないとすれば、なぜ使えないのかが分かりません。 長い質問ばかりで恐縮ですがお教え頂ければ有難いです、宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 【数学基礎】漸化式と再帰的定義
漸化式とよばれる式と、再帰的定義とよばれる式の区別ができません。 例えば（ご説明で他の適した例があれば、ご紹介ください）、 フィボナッチ数列でいえば、 F(n)=F(n-1)+F(n-2) (2≦nの場合),F(0)=0 であったり、 階乗であれば、 n!=n×(n-1)! n (n=1,2,3,...の場合) n!=1（n=0の場合） といった式の説明に対して 「これは漸化式である」であったり「これは再帰的定義である」という 記述を散見します。 私のイメージとしては、 ・漸化式は一般式を求める前段階の式 ・再帰的定義は左辺を右辺で定義している式 です（上記認識が誤りであれば、ご指摘くださいませ）。 私が混乱しているのは、 一つの式を「漸化式である」であったり「再帰的定義である」と 表現してみたりする判断基準がわかりません。 「なんとなく」文脈で使い分けているようにも思えるのですが、 曖昧なまま学習を進めることに不安を感じており、質問させて いただきました。 漸化式と再帰的定義についての違いについて教えて下さいませ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 受検戦略 慶應薬学部 漸化式
漸化式の問題にどう対応しようか迷っています 第一志望は慶應薬学部 1 全体的な傾向としては 大問4～5 計算量多め 難問少な目 2 漸化式は頻出 公式そのままで解ける問題以外にも 確率と絡めた問題など高度な部分まで出題されています 取り得る戦略として 1 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターン全て暗記 2 漸化式 → 一般項 の基本的なパターンだけ暗記し、あとは導出できるようにする 3 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターンをすべて導出できるようにする ※導出法としてはhttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/sazen01.htm にある「定型問題は等比数列に持ち込む」「非定型問題は推定＋数学的帰納法」でいこうと 考えています があると思うのですが、どれを採用するべきですかね？ 自分はいままで数学は極力暗記に頼らない方法をとってきましたし 慶應薬学部は応用的な漸化式の問題も出てきますので3でいきたいような気もするのですが 漸化式は暗記に頼る方法を採用する人も多く迷っています どうするべきでしょうか？ ご意見よろしくお願いします （ご自身が、受検時に合格された大学も書いていただけると非常に参考になります できればあわせてお書きください）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか漸化式について教えてください。
もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。 漸化式のところでつまずいて前に進めません。 どなたか教えてもらえないでしょうか。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 初項がA1、An+1=PAn＋Q n＞1 P、Qは定数 の漸化式で確認しておきましょう。 An+1－α=P(An－α) つまり An+1=PAn－Pα＋α と与えられた漸化式 An+1=PAn＋Q を見て、定数項を比べると Q=－Pα＋α=α(1－P) となり、この式から α=Q／(1－P)・・・・・(1) とすればよいことが判ります。このとき数列{An－α}は An+1－α=P(An－α)より、公比Pの等比数列となり、その 初項は A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2) なので An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3) よって An=(A1－Q／(1－P))×Pのn-1乗＋Q／(1－P)・・・・・(4) と一般項が求まります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 数列{An－α}の公比はPになることは直感的に判るのですが 初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが 最後に求まったのはAnの一般項でした。 それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果 です。 ここでの漸化式はAn+1－α=P(An－α)の形式に持ち込めたら 公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項 が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ つかめません。 解説のほどよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
alice_44様 お忙しい中、ご回答頂きながら、長らくご返事ができずにおり申し訳ございませんでした。 アドバイスいただきありがとうございました。