大学入試数学、力学系てなんですか？教えてください！

質問

こんにちは。数IIIの勉強をしていて、ずっと疑問に思っていることがあり、
どこを調べても載っていないので、質問させて頂きました！

参考書に、「北大（北海道大学）は何回も力学系の問題が出題されている
ので、重点的に演習するように」と書かれているのですが、”力学系”その
ものの意味が分からなくて困っています。
参考書、問題集を可能な限り考えてみると、どうやら数列の漸化式や、
ひょっとすると行列？も含んでいそうですが、とにかくわからないので、
努力しようがありません。大学入試の”力学系”の典型的な問題など
がわかれば合わせて教えて下さい！

こんな感じが力学系だよ、のような高校生でも分かるような説明をして
くれると嬉しいです。よろしくお願いします！！

回答No.11

noname#221368 · ベストアンサー

#9です。

　少し言葉が足りませんでしたね。漸化式の中には、数列も数列の極限も含めて考えてました。

　いちおう自分は大学の理系を出たし、アーノルドの「古典力学の数学的方法」なども読みましたので、信じてもらって大丈夫、と思うのですが・・・(^^；)。

　力学系の理論は数学的には、ポアンカレの始めた常微分方程式の定性的理論という奴なので、高校数学や高校物理には、力学系の概念はないはずなんですよ。

　ことさら反対意見も出ていないようなので、やはりその参考書の言う「力学系」とは、単なる融合問題の事のように思えます。前の回答で述べたように、融合問題の出自がじつは、力学系の問題に関連ある、という程度の言い回しに見えます。

　自分の趣旨も、#10さんと同じです。

＞その参考書の意図は分かりません。何か「力学系」がどうのという
＞事に捕われると損をすると思います。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
になれました。
疑問を抱えたまま進みたくなかったので、とても嬉しいです。
皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

回答No.12

FT56F001

力学系という言葉は，
連続力学系：微分方程式の定性的な理論
離散力学系：差分方程式(漸化式)の理論
といった意味だと思います。離散力学系のカオスや複雑系を研究してる先生が北大にいらっしゃるので，その先生の出題とにらんで，「力学系」と書いたのではないかしら。高校生向けには「漸化式の問題」でいいような気がします。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
になれました。
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ありがとうございました。

回答No.10

tmpname

取り敢えず北大の問題を見た方が早いと思いますよ。
自力で見てみましたが

2011年
1. 二次関数とガウス記号
2. 巾ゼロ行列
3. 円と球の方程式
4. 組み合わせと数列
5. 微分と積分

2010年
1. 二次関数と積分（積分必要ないかも）
2. 行列とHamilton-Cayleyの定理
3. 数列と極限
4. 微分と積分
5. 確率

2009年
1. 三角錐の高さ
2. 数列と極限
3. 二次関数と三角関数
4. 三角関数
5. 積分と漸化式と極限と交代級数

2008年
1. 二次関数と絶対値
2. 行列の巾
3. 数列の極限とf(x)=xとの関係
4. 三角関数と空間座標
5. 積分方程式

2007年
1. 円の方程式と三角関数
2. 確率と漸化式
3. 積分と極限
4. 束縛条件が付いたパラメータの増減
5. 楕円と双曲線の方程式

まあなんというか、満遍なく出されているのではないでしょうか。
その参考書の意図は分かりません。何か「力学系」がどうのという
事に捕われると損をすると思います。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
になれました。
疑問を抱えたまま進みたくなかったので、とても嬉しいです。
皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

補足

お返事、ありがとうございます！
はい、満遍なく出されているとは思いますが、
高校の範囲内で力学系といいうものをしっかりつかんでおかねばならない
としたらやらねば、と思いまして。。。
力学系以外のことは正直理解はしているのですが。。。

回答No.9

noname#221368

数IIIを勉強しているという事なので、微分方程式はご存知ですよね？。

　高校数学で出てくる微分方程式は必ず解けますが、実際には（大学では）解けない微分方程式を扱うのが普通です。そのような場合、解は存在するのか？とか、存在するとして解の概略グラフはどうなるのか？、とかを議論するのが力学系の理論です。

　ここで「力学」と言われるのは、やっぱりこういう事が問題になったのは、解けない「ニュートンの運動方程式」があったからです。その時に、解の概略グラフでも把握できれば、それはそれでとても有効な情報になります。そこから力学系の理論が生まれました。

　で、実際にそういう事をやろうとした時、けっこう有効だったのが、微分方程式を数値的に逐次代入などで解く事でした。やってみるとこれが、漸化式になったり、行列で表される漸化式になったりするんです。

　だから、

＞大学入試の”力学系”の典型的な問題

とは単に、「融合問題」の事であると、何故その参考書は言わなかったのか、自分はその意図を疑います。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
になれました。
疑問を抱えたまま進みたくなかったので、とても嬉しいです。
皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

補足

そうですか。。。数列の極限だったりはしませんか？？
ただの融合問題のことなのでしょうか。。。

回答No.8

drmuraberg

物理の力学で使われる数学かと思っていたら違うようです。

Wikiの数学（教科）の項の一番下の表に、数学の主要分野に、
＜数理論理学 · 集合論 · 圏論 · 代数学（線型 – 抽象） · 数論 ·
解析学/微分積分学 · 幾何学 · 位相幾何学 · 力学系 · 組合せ数学 ·
ゲーム理論 · 情報理論 · 数値解析 · 最適化問題 · 計算理論 ·
確率論 · 統計学 · 三角法＞
と確かに「力学系」があります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6_(%E6%95%99%E7%A7%91)

「力学系」とは従って「主要分野」の「力学系」以外の分野を除いた分野
となります。これでは具体的な内容は判りません。

更に調べると次のURLが見つかりました。
http://www.math.jst.go.jp/ja/suugakujuku/archive/text/1_Arai1.pdf

これによると＜力学系とは「時間」「状態空間」「時間発展のルール」の
３つの組のことである。＞となっています（頁１）。
さらに、
＜力学系に特徴的なのは、力学系では主に系の漸近挙動、すなわち時間が
無限大へと発散するときの系の振る舞いを問題とする点である（・・・）。＞
だそうです（頁２）。

他には＜力学系理論（Dynamical System Theory）は一定の法則に従って
時間変化が記述される系（=力学系）に関する数学理論です．＞ですと言う
説明もありました。
http://dan.math.kyushu-u.ac.jp/groups/home/wiki/71b7b/index.html

高校数学の漸化式とかその極限挙動は力学系に含まれるわけです。
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/agora04.pdf

付け足しですが、北大には力学系の好きな先生方が居られるようです。
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/message/%E5%BA%A7%E8%AB%87%E4%BC%9A%EF%BC%9A%E6%9D%BE%E4%B8%8B%E5%A4%A7%E4%BB%8B%EF%BC%88%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%B3%BB%EF%BC%89%EF%BC%8C%E5%88%A9%E6%A0%B9%E5%B7%9D%E5%90%89%E5%BB%A3%EF%BC%88%E8%A7%A3%E6%9E%90.php

以上、参考になれば幸いです。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
になれました。
疑問を抱えたまま進みたくなかったので、とても嬉しいです。
皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

補足

お返事遅くなりごめんなさい。。。とても参考になりました！
北大にいる先生方が、入試問題を作っているんですものね。。。
大学に入ってからきっちり勉強したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.7

alice_44

その参考書が言っているのは、たぶん
ベクトル列の漸化式から一般項や極限を求める問題のことです。
漸化式が一次変換であれば、行列の巾乗を求めることに帰着され、
大学の線型代数での標準的な練習問題になります。
それを高校生に要求するのは、指導要領上も問題がありますし、
問題文中に適当な誘導を置いて、それに乗って行けば解けるように
出題されているはずです。過去問は、どうなっていますか？

お礼

追記です。北大、２０１０年度、理３番となっています。
よろしくお願いします。

補足

ありがとうございます！過去問は、記憶が正しければ、http://220.213.237.148/univsrch/ex/menu/index.html
です。ただし、本が今手元にありませんので、明日なら
わかります。もう一度このページをみてもらってもいいですか？？

回答No.6

eclipse2maven

５です

選択肢のどこへ移るかの推移確率みたいなものは行列になりますから、それのたくさんの繰り返しと考えるのは、出てくるでしょう。

離散的に繰り返しを考えるのではなく、時間の推移として考えれば連続パラメータもありです。そのずっと先と考えれば、極限操作もありです。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
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ありがとうございました。

回答No.5

eclipse2maven

粒子の動きとか物体の動き

水の流れとか、渦とか

つまり、物理で言うと、量子論でなく古典力学が古典場とかそれのいっぱい集まったものに使われている数学かな。

それと同時に、株の動きとかも、ブラウン運動に見えますから、これを予測するのにこういう物理の考え方を使ったのが金融工学で、確率論が関わってきます。マルコフ連鎖とかで、この辺が漸化式とかかわってきますね。

だいたいWikiに書かれているのはそんなところです。

お礼

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ありがとうございました。

補足

ありがとうございます！難しいお話ですが、あの有名な金融工学
などとかかわりがあったんですね！
漸化式を用いているのが力学系とよばれているゆえんなのですね。。。
極限とかは関係しないのでしょうか？あと行列はまったく関係があ
りませんか？？

回答No.4

noname#158987

その参考書の解説がついている問題はそれこそ力学系の問題ではないでしょうか？

あと、北海道大学の過去問を見てみれば分かるんじゃないですか？
少なくともそこ受けるんならもう持っててもいいでしょ？
「力学系数学」の意味が分からなくても、
そこの過去問が解ければいいんだし。

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
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ありがとうございました。

補足

すみません。。。なんか悪いことを書いたみたいで。。。
ただ、力学系、ということが理解したくて、一生懸命調べたのです。
この先の数学において必要なら理解しておきたいと思ったのです。
失礼しました。

回答No.3

kamiyasiro

質点の位置座標が関数で与えられていて，・・・
運動が微分方程式で与えられていて，・・・

というような数学が力学系数学ではないかしらん．

エネルギーは積分になったり，

漸化式が出てくるとは思えませんが・・・

お礼

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皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

補足

早速お返事くださってありがとうございます！
本によると、北大では毎年のように力学系、と呼ばれる
問題が出ると書いてありました。
ウィキペディアやらなんやら調べたのですが、
正直レベルが高すぎてわかりません。。。
過去門を見ると、漸化式の極限を求めよ、とかあるので
このことかと思ったのです。高校生でもわかるような
モデルはありますか？？

回答No.2

noname#158987

多分、軌道を描かせたり、その線分の長さやら面積を解かせたりなどでしょうね。
サイクロイドとかカージオイドでしたっけ？
なんかありましたよね。そんなの。
xとyで直接式を作るのではなくて、いったんあるパラメータ（θとか）をはさんで表現したりしませんでしたっけ？
（媒介変数表示というらしいです。）

力学系
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E7%B3%BB

お礼

みなさま、本当に色々とありがとうございました。
おかげでずいぶんと疑問が晴れてすがすがしい気持ち
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皆様にお礼申し上げます。
ありがとうございました。

補足

お返事ありがとうございます！ちょっとせっぱつまっていて。。。
参考書とかでは、漸化式の極限のような書き方をしていたんですが。。。
実際、北大ではそんな問題が多いらしくて。
媒介変数で表すのを、力学系というのですか？？
幼稚な質問ですみません。。。