• ベストアンサー

ネイピア数と積分

とある問題集解説にこんな計算が掲載されていたのですが、理解できません。 どなたか解説をお願いいたします。 設題：y=e^(-1)とy軸と、接線 y=-e^(-1)x + 2/e の作る面積を求めよ 解答： 　∫[0→1](e^(-1) + x/e - 2/e) =[0→1] [-e^(-x) + (2/e) ・(x^2) - (2/e)x]　…(1) =1 - (1/e) (1)の変形が全く理解できません。 x/e　の不定積分は (x^2) / (2e)　　+　　C に思われるのですが… よろしくお願いいたします。

  • entap
  • お礼率29% (93/313)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 151A48
  • ベストアンサー率48% (144/295)
回答No.1

y=e^(-1)はy=e^(-x)の誤りでは？接線はx=1における接線ですね。 x/eの不定積分についてはあなたの計算が正しいです。ミスプリでは。

entap
質問者

お礼

問題自体のミスプリでした。ありがとうございました。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数学II 積分

    数学II 積分 曲線 y=x^2 + x + 1 に原点から引いた2本の接線と、この曲線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 接点を（a,a^2 + a + 1）とおいて接線を求めると、y=(2a + 1)x - a^2 + 1 となります。 そしてこれが原点を通るから代入して計算すると a=1,-1 とでます。 よって接線は y=3x と y=-x とでます。 y軸を基準にして左側と右側に分けて考えて S=∫[-1～0] (x^2 + 2x + 1)dx + ∫[1～0] (x^2 - 2x + 1)dx ここまでが学校で言われた説明なんですが この積分の式が理解できません。 y軸の左側と右側では、囲む接線が違うから y軸より左と右で分けて計算して足すというのはわかるんですが 例えば左側を見たとき 囲んでいるのは曲線と接線とy軸じゃないですか? 「上の式 - 下の式」を積分して出る面積は 上の式と下の式だけで囲まれた面積ではないのですか? y軸も入れて3本の式で囲まれているのにこれでいいんですか？

  • 積分です

    積分の問題です。 この曲線で囲まれた図形の面積を求めよ 0≦ｘ≦πのときy=sinx y=cos2x -1/4≦y≦1のときx^2+y^2=1 y=x^2-1/4 積分の仕方は分かりました。ｘとyに対応する範囲が分かりません。 曲線y=e＾xと原点からこの曲線にひた接線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をもめよ これは意味が分かりません。 まったく解けないです（泣） この3問を四時間ぐらいやっているのです・・・・ 教えてくれませんか？？ お願いします。

  • 数3 積分

    1≦ t≦eとして,曲線c:y=3logx上の点(t,3logt)における接線をlとする。 曲線c,接線l,直線x=eおよびx軸で囲まれる部分の面積をSとする。 これについて以下の問いに答えよ (1)接線lとx軸との交点のx座標を求めよ (2)Sをtで表せ 特に(2)の積分範囲について詳しく説明してもらえると助かります 回答お願いします

  • 積分について教えてください。

    積分の問題をしているのですが、どうしても下の５問がわかりません。 できるだけ詳しく解答してほしいです。よろしくお願いします。 (1) Y＝X＾２+４X－３とX軸で囲まれた面積を求めるには？ (2) Ｙ＝√Ｘと直線Ｙ＝Ｘで囲まれた面積を求めるには？ (3) Ｙ＝３Ｘ＾２－Ｘ＾３とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？ (4) Ｙ＝６Ｘ－Ｘ＾２とＹ＝Ｘ＾２で囲まれた面積を求めるには？ (5) Ｙ＝Ｘ（Ｘ－２）（Ｘ－３）とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？

  • 不定積分

    次の不定積分の計算ができません。 ∫e^2x/((e^x)+3)^2 dx の計算ができません。 とりあえず、置換積分すると２回置換しなければなりません。しかも解答と合わない。 解答はlog(e^x +3)+3/e^x +3 +C となっています。

  • 積分

    （１）曲線Ｃ：ｙ＝logＸ上の点（２、log２）における接線：Ｌを求めよ。 これはｙ＝Ｘ／２＋log２－１で合ってるでしょか？ （２）ＣとＬとＸ軸で出来る面積を求めよ ＬとＸ軸との交点が分からないので（１）の式を解くと Ｘ＝２（１－log２） logＸの積分はＸlogＸ－Ｘなのですがこれに１と２（１－log２）を 入れて求めるとlogの中にlogが出来てしまって解けません。 どこで間違ったのでしょうか？

  • 微分、積分の問題です

    (1)次の関数ｙをｘで微分せよ。　　ｙ＝2ｘの２乗+４/√ｘの３乗 √分数が出てくるとわかりません。 (2)次の不定積分を計算せよ。　　　∫ｘ3ｘdｘ （３の隣のｘは３の右上に小さく書かれています） ３の右上にｘだとわかりません。 (1)(2)ともに解説解答をお願いいたします

  • 積分について

    (1)不定積分∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx (2)無限積分∫{(∞，0)(e^-x^3)}dx (3)Dを直線y=2-xと曲線y=1+√(1-x^2)で囲まれた領域とする時， 　　∫∫[(D){x(x^2+1)}/y^2]dxdy この三つの計算方法を教えてください。

  • 積分の面積問題について

    aを0でない実数とし、f(x)=(x-a)e^(-x)とおく。曲線f(x)が原点を通る接線をただ一つもつとき、 １、aの値を求めよ。 ２、曲線y=f(x)の変曲点のx座標を求めよ。 ３、曲線y=f(x)と、この曲線の原点を通る接線およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 解答；a=-4, 変曲点のx座標x=-2 ３、接線のx座標は（-2、2e^2) この点は２、より変曲点であるからグラフは～ と書いていてグラフはf(x)と接線がx=-2のみで接して交点はこれのみです。なぜこうなるのかがわかりません。 これは「変曲点で接線が接した場合は曲線の接線の交点は接点のみ」ということでしょうか？ よろしくお願いします。

  • 積分　dx　について

    積分のdxについて ・不定積分・・・・・微分の逆操作 ・定積分・・・・・・総和Σの極限 であると理解しています。 関数F(x)をf(x)の原始関数とすると、F(x)の微分は、 d/dxF(x)＝f(x)です。 不定積分の場合は、微分の逆操作なので、 d/dxF(x)＝f(x)の両辺を積分すれば、∫d/dxF(x)＝∫f(x)となります。 よって、不定積分は∫f(x)＝F(x)+Cではダメなのでしょうか？ わざわざf(x)dxとして積分する理由がわかりません・・・ 微分の逆操作という意味であれば、∫f(x)＝F(x)+Cはとてもしっくりくるのですが・・・ もちろん、式変形を行いd/dxF(x)＝f(x)より、dF(x)=f(x)dxとなり、 両辺を積分すれば、∫f(x)dxが導けることは理解できます。 ∫f(x)dxは、F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和となり、 ∫f(x)dxが直感的に微分の逆操作というイメージが沸きません・・・ F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和が原始関数となる事を 教えて頂けませんでしょうか？ （もちろん、積分定数分は切片としてズレる事は理解しています。） そもそも∫○dxは、一対で考えなければならないのでしょうか？ このdxが何で積分するかを表すという考えなのでしょうか？ ということは、 ・不定積分・・・・・微分の逆操作→∫f(x)dxのdxは何で積分するかを表すための記号 ・定積分・・・・・・総和Σの極限→∫f(x)dxのdxは幅 という解釈で良いのでしょうか？ 定積分であれば、面積＝Σ（高さ×幅）となるので、∫f(x)dxは理解できます。f(x)が高さでdxが幅。 ※質問内容※ ・不定積分は、∫f(x)＝F(x)+Cではダメか。 　ダメな場合、なぜダメなのか。 ・∫○dxは一対で考えなければならないのか？ ・F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか？ ・不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか？ 以上、長々とあほな質問ですがご回答よろしくお願い致しますm(__)m ちなみに、以前私と同様の質問の方がいらっしゃいました。 http://okwave.jp/qa1415099.html

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する