無限等比数列

質問

かけだし受験生です。
参考書を解いていてどうしても理解できない部分があって行き詰っています・・・。

xの関数f(x)=lim[n→∞](x^n + 2x + 1)/(x^(n-1) +1)
のグラフを書け、という問題で

|x|>1の時、x^n→∞
|x|<1の時、x^n→0
に注意して
1) |x|>1の時
2) |x|<1の時
3) x=1の時
4) x=-1の時
で場合分けして、1),2),3)はそれぞれf(x)=x,2x+1,2と求まったのですがx=-1の時の極限がわかりません。

参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0
となるから定義されない、とあるのですが、
nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。
となると・・・?????。となってしまいます。

ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○（値なし）となっています。
長くなりましたが、ご教授いただけると助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

前回の説明では分かりにくかったように思うので
再度書き込みをさせてもらいます。

こんな数列の例はどうでしょう。
nが奇数のときan=1,nが偶数のときan=2
この数列の極限値はあると言うでしょうか?
n→∞とはどのように∞にしてもという意味です。
奇数だけとれば1、偶数だけとれば2ですが、まぜてとれば
極限値なし(振動)です。

それから (x+1)/(x+1) のような式はx＝－１ のとき不定とは言いません。定義されていないとします。
(別に定義すれば除去できます)
x→－１なら不定形で極限値があります。御質問の場合とは異なります。

お礼

なるほど！
確かに言われてみるとわかります。x=-1とx→-1は別物ですね。
けっこうスッキリしてきました。
ありがとうございますです。

回答No.4

KENZOU

＃２のKENZOUです。不定形についての面白い話を紹介しておきます。勉強の合間の息抜きのときにでも読んでみて下さい。
＜不定の代数的演算(?)について＞・・・（参考URL参照）
A、Bは任意の数でいいのですが、ここでは
　A＝B、つまりA－B＝0　　(1)
とします。さて、(1)の両辺にAをかけると
　A^2＝AB　　(2)
次に両辺からB^2を引くと
　A^2－B^2＝AB－B^2　　(3)
これは因数分解すると
（A＋B)(A－B)＝B(A－B)　(4)
両辺をA-Bで割ると
　A＋B＝B　　(5)
ところでA＝Bであるから(5)は2A＝Aとなりますね。これは明らかに矛盾です。どんなAを持ってきても(5)を満たすことができない！これは(4)で両辺をA-B(=0)で割ったことにその原因があるのですね。つまり代数的（記号的）に書けば
　A＋B＝B×(0/0)　(6)
となり、ここで(0/0)は不定であるが、0÷0＝1と記号的な計算(?)をやったために上の不具合が発生したということです。まさに禁断の一手でした(笑い）。

＜不定形と関数の連続性＞　
不定形とは0/0をはじめ、∞/∞、∞-∞、∞×0・・・等、それ自身では値としての情報を持たない形を言います。そこで次の関数を考えてみます。
　sin(x)/x 　(7)
((x-2)^2-4)/x　　(8)
(7)、(8)共、x＝0のとき不定形となりますね。しかしx→0の極限値は
　lim[x→0]sin(x)/x＝1　　(9)
　lim[x→0]((x-2)^2-4)/x＝-4　(10)
となります（←高校数学では習わないかも知れませんがロピタルの定理から簡単に導かれます）。
さて一般論として関数f(x)がx＝aで不定形となるが、x→a で極限値が存在する場合関数f(x)は点x＝aで（弱い意味で）連続となり、これを「連続に拡張できる」とかいっています。相手は不定といってあっさり諦めず、ジリジリにじみ寄っていけば姿がハッキリ分かるというケースですね（←不定形の全てがうまくいく訳ではない）。
この辺の議論は少し難しいかも知れませんがココ↓を参照されては。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node35.html

参考URL：

http://www2.plala.or.jp/cgi-bin/minibbs/minibbs.cgi/kamkamkam/minibbs

回答No.2

KENZOU

＞参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0
となるから定義されない、とあるのですが、
nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。
となると・・・?????。となってしまいます。
ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○（値なし）となっています。

関数f(x)はx＝－1の点でｎが偶数であればf(－1)＝０/０となって、いわゆる不定ということになりますね。さて、n→∞という意味は任意のある数Ｍを取った場合ｎは常にn＞Ｍを満たすということですね。つまりＭを任意の大きな偶数をとった場合、ｎは少なくともその数よりも大きいですから例えばｎ＝Ｍ＋１とおいても良いわけですね。この場合ｎは偶数となります。しかし改めてＭ＝Ｍ＋１とした場合、ｎ＞Ｍ（＝Ｍ＋１）ですから、上の同じように考えてｎ＝Ｍ＋１とおいてもよい。この場合ｎは奇数となります。ここでまた改めてＭをＭ＝Ｍ＋１と置けば・・・ということの繰り返しで、ｎは際限なくどんどん大きくなっていくというのがｎ→∞のイメージですね。このことからｎ→∞の極限ではnが偶数になっているのか奇数になっているのかそんなことはサッパリ分からん（笑い）となります。関数f(x)の極限値が存在するということはｎの偶奇に関係無くojamanboさんが書かれているようにn→∞である確定値を持たなければなりませんが、今のケースの場合、関数f(x)のx=-1における値はｎが偶数の場合のみ定値を持ち、ｎが奇数の場合は不定ですからｎの偶奇がサッパリ分からん極限では極限値を特定することができません。x＝－１での関数f(x)はｎ→∞のプロセスである値と不定の間を激しく振動しっぱなし・・・というイメージになると思います。

よく似た話しとして、テキストに載っていると思いますが、F(x)＝lim[x→0]sin(1/x)という関数があります。これはx→０のとき|1/x|→∞となりますがx～０の近傍では－1と＋1の間のあらゆる値をとる（激しく振動）から、結局極限値は存在しない、というのがありますね。

お礼

レスありがとうございます。
前々から「振動」って訳わからない奴だなーと思っていました。
f(x)が値を持つことと極限値の有無は別のことですね。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#24477

n→∞ということはnは偶数も奇数も両方とるわけで
偶数のときだけとか奇数のときだけを考えれば良いわけではありません。

偶数のときだめなら極限としてだめです。