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無限等比数列
かけだし受験生です。 参考書を解いていてどうしても理解できない部分があって行き詰っています・・・。 xの関数f(x)=lim[n→∞](x^n + 2x + 1)/(x^(n-1) +1) のグラフを書け、という問題で |x|>1の時、x^n→∞ |x|<1の時、x^n→0 に注意して 1) |x|>1の時 2) |x|<1の時 3) x=1の時 4) x=-1の時 で場合分けして、1),2),3)はそれぞれf(x)=x,2x+1,2と求まったのですがx=-1の時の極限がわかりません。 参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0 となるから定義されない、とあるのですが、 nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。 となると・・・?????。となってしまいます。 ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○（値なし）となっています。 長くなりましたが、ご教授いただけると助かります。 よろしくお願い致します。
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＞参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0 となるから定義されない、とあるのですが、 nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。 となると・・・?????。となってしまいます。 ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○（値なし）となっています。 関数f(x)はx＝－1の点でｎが偶数であればf(－1)＝０/０となって、いわゆる不定ということになりますね。さて、n→∞という意味は任意のある数Ｍを取った場合ｎは常にn＞Ｍを満たすということですね。つまりＭを任意の大きな偶数をとった場合、ｎは少なくともその数よりも大きいですから例えばｎ＝Ｍ＋１とおいても良いわけですね。この場合ｎは偶数となります。しかし改めてＭ＝Ｍ＋１とした場合、ｎ＞Ｍ（＝Ｍ＋１）ですから、上の同じように考えてｎ＝Ｍ＋１とおいてもよい。この場合ｎは奇数となります。ここでまた改めてＭをＭ＝Ｍ＋１と置けば・・・ということの繰り返しで、ｎは際限なくどんどん大きくなっていくというのがｎ→∞のイメージですね。このことからｎ→∞の極限ではnが偶数になっているのか奇数になっているのかそんなことはサッパリ分からん（笑い）となります。関数f(x)の極限値が存在するということはｎの偶奇に関係無くojamanboさんが書かれているようにn→∞である確定値を持たなければなりませんが、今のケースの場合、関数f(x)のx=-1における値はｎが偶数の場合のみ定値を持ち、ｎが奇数の場合は不定ですからｎの偶奇がサッパリ分からん極限では極限値を特定することができません。x＝－１での関数f(x)はｎ→∞のプロセスである値と不定の間を激しく振動しっぱなし・・・というイメージになると思います。 よく似た話しとして、テキストに載っていると思いますが、F(x)＝lim[x→0]sin(1/x)という関数があります。これはx→０のとき|1/x|→∞となりますがx～０の近傍では－1と＋1の間のあらゆる値をとる（激しく振動）から、結局極限値は存在しない、というのがありますね。
お礼
レスありがとうございます。 前々から「振動」って訳わからない奴だなーと思っていました。 f(x)が値を持つことと極限値の有無は別のことですね。 ありがとうございました。
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お礼
なるほど！ 確かに言われてみるとわかります。x=-1とx→-1は別物ですね。 けっこうスッキリしてきました。 ありがとうございますです。