帰納法がわかりません

質問

数学的帰納法、意味もわからず問題を解いています。

教科書の問題は、解けるのですが、本当は意味がわかっていません。だから、少し難しい問題になるとできなくなります。

先生の説明を受けても、どうも納得できないのです。

そんなものなのでしょうか？

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

＞数学的帰納法、意味もわからず問題を解いています。

「数学的帰納法」の意味を学校の授業では説明せず，いきなり，問題を解くようなカリキュラム（学習指導要領）になっているので，理解に苦しむことになるのでしょう．

「数学的帰納法」を正しく理解するために，微力ながら，説明してみます．

「数学的帰納法」は，もともと，「ペアノの公理」を，そのまま使っているだけです．

公理を使うわけですから，その公理を使う限り，公理そのものは，証明もなにも不要なわけです．

学校の授業で，この説明をして置かないと，後で多くの学生が疑問を持ち，どうして，「a で成り立ち，かつ a＋1 でも成り立てば，全てで成り立つ」んだろう！　という感覚の疑念が発生するのです．

気の利いた学生ならば当然の疑問で，この疑問は，「ペアノの公理」を使っているんだ，という認識がないからです．

現在の学校教育の盲点・不備・不完全，と言うところかも知れません．

なお，「ペアノの公理」には，以下の様に書かれています（wikipedia）．

自然数は次の５条件を満たす．

（１）:　 自然数 0 が存在する。

（２）:　任意の自然数 a にはその後者 suc(a) が存在する（ suc(a) は a＋1 の意味）．

（３）:　0 はいかなる自然数の後者でもない（ 0 より前の自然数は存在しない）．

（４）:　異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる．

（５）:　0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせば，その後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす．

● 上記の５番目，（５）が「数学的帰納法」としての公理です．

以下のウイキペディアを参照して下さい．

ペアノの公理（wikipedia）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

数学的帰納法（wikipedia）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

なお，最近では，「ペアノの公理」という表記以外（「ペアノの公理」の進化したもの）に「数学的帰納法の原理」と言う，表現が採用されているようです．

私の学生時代には，無かった表現です．

以上です．少しでも，ご参考になればいいのですが・・・．

回答No.3

Hiromi1976

チャート式で解いて勉強して、経験を積み上げていけば、そのうちわかってきます。

先生に食い下がって聞いて、わかるまで議論するべきでしょう。

http://www.chart.co.jp/reader/subject/sugaku.html#Anc01_04

回答No.2

shickpro90

高校の時、私も最初は理解できませんでした。解き方の通りに解いているけど、意味はわかっていませんでしたね。

でも、習うより慣れろ、でもしばらくは大丈夫だと思います。そのうち、わかるときがくるかもしれません。

私は、半年くらいしてやっと意味がわかりましたよ。

宣伝ではないけれど、私は当時、
http://www.amazon.co.jp/%E9%9B%A3%E9%96%A2%E5%A4%A7%E7%AA%81%E7%A0%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%BA%95%E5%8A%9B%E2%80%95Top-Grade-%EF%BC%AE%EF%BD%8F%EF%BD%82%EF%BD%8C%EF%BD%85%EF%BD%93%EF%BD%93%EF%BD%85-%EF%BD%8F%EF%BD%82%EF%BD%8C%EF%BD%89%EF%BD%87%EF%BD%85-%E9%9C%B2%E6%9C%A8-%E7%B9%81/dp/4053029678/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1336813874&sr=8-1
を買って、そこの説明で納得したことがありました（この本自体は少し難関大学向けだけど、説明が詳しかった）。

あとは、いろいろな本の説明を読んでみるしかないし、先生の説明などを聞いて自分で悩んでみるしかないと思いますよ。
いろいろな参考書を紹介しているサイトを見て、本屋に行ってみるといいかもしれません。
http://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/
http://daigaku.jyuken-goukaku.com/how-to-study/mathematics/
http://outlinereview.small.jp/

No.1の方の説明がわかりやすいと思いますけどね。

お礼

レビューが役に立ちました。

回答No.1

EXCELCIORL

例えば『手元にある30枚のトランプは全て◇である』という結果を導きたいとします。

『１枚目は◇４』『２枚目は◇Ｑ』『３枚目は◇７』……………『29枚目は◇６』『30枚目は◇Ｊ』

そうやって30枚全てを調べていき、全てのトランプが◇であった場合、『手元にある30枚のトランプは全て◇である』が成り立つことになります。

こうやって一つ一つがそうである事を確認することで証明するのが帰納法。

数学ではその『一つ一つ全ての可能性』を文字で置くことで証明をしています。

分かりにくくてすみませんf^_^;