因数分解してくださいませんか。

質問

中３の受験生です。

数学の問題でわからないものがあるので、
教えてくださいませんか。

※本来は累乗は指数で表されますが、
　無理なので言葉で表しています。

　「Xの4乗－８１」

この式を因数分解すると、答えは何になりますか。

また、解き方も教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.7

noname#256861 · ベストアンサー

前の回答者の皆さんの説明で(x^2+9)(x^2-9)になることはわかりましたよね？最終的に答えが(x^2+9)(x+3)(x-3)になることも皆さんの回答でわかっていますよね？
では、なぜこの答えになるのでしょうか。考えてみてください。
あなたは答えが(x+3)(x+3)(x+3)(x-3)=(x+3)^3(x-3)になると考えているんですよね？僕もこういう間違いをしたことがありました。しかし、よく考えてみてください。あなたは中学校で因数分解の公式を習っていると思うのですが、よく思い出してみてください。

(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)

といったような公式がありませんか？
そこで(x^2+9)(x^2-9)の式をもう一度考えてみてください。この公式に当てはまっている式がありませんか？そうです、(x^2-9)です。ここまではあなたもわかっていると思います。ではもうひとつの(x^2+9)はもう因数分解はできないのでしょうか。
この式がぴったり当てはまる公式を探してみてください。ありませんよね？
さっきの(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)の公式は(a^2-b^2)であり、真ん中が+ではありませんよね。+ではない、ということは、(x^2+9)は(a^2-b^2)に当てはめられませんよね？だから、最終的に(x^2+9)(x+3)(x-3)という式になります。よって(x^2+9)は因数分解できず、そのままにしておきます。

長い文章ですが、わかっていただけたでしょうか？僕も今年高校生になったばかりで高校受験しました。受験の問題の中にも因数分解は基本の計算としてたくさん出てきます。
これでもいまいちわからないときは先生に聞くのが一番です。ここで絶対につまずいてはいけません。これから受験に向けて勉強していくと思いますので、後悔しないように精一杯がんばってください！！

お礼

ご回答ありがとうございました。
私はミスしてました。
「Xの２乗＋９」
を因数分解すると
「（X＋３）（X＋３）」
になると思っていましたが、これを展開してみたら
「Xの２乗＋６X＋９」
になりました。

確かに「a＾２＋ｂ＾２」の
公式はなかったです。

気付かせていただいてありがとうございました。

補足

ベストアンサーに選ばせていただきました。
他の方の回答も
わかりやすい回答だと思いますが、
公式について改めて考えられて
結論を導き出すことができたのでこの回答にしました。

ありがとうございました。

回答No.6

KEIS050162

疑問に思ったら、機械的に公式を丸暗記するのではなく、それぞれの意味をじっくり理解していくと、理解が深まります。疑問がある、ということは理解を深めるチャンスですね。

ｘ＾２＋９　が因数分解できないというのは、実数の範囲では出来ないという意味です。

ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ　を　（ｘ＋α）（ｘ＋β）　の様にすることを因数分解と言い、それぞれ（）で囲まれた部分を因数といいます。

ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ　＝　０　という方程式の解を求める時に、因数分解すると、
（ｘ＋α）（ｘ＋β）＝０　となり、いずれかの因数が０の時にこの方程式を満たすことが分かり、解がｘ＝-α、－βであることが分かります。

ｘ＾２＋９の場合、ｘ＾２＋９＝０　の実数解が存在しないので、（ｘ＋α）（ｘ＋β）と因数分解できる実数ａ，ｂが存在しません。

なぜ、実数解がないと分かるのか？
解の公式や判別式を習っているのであれば、それで機械的に求められますが、

二次関数のグラフはもう習いましたか？そうであれば、ｙ＝ｘ＾２＋９のグラフを書いてみると、このグラフがｘ軸と交わる点がない、即ちｙ＝ｘ＾２＋９＝０となるｘがない、（＝実数解を持たない）ということが分かると思います。

※ためしに　ｙ＝ｘ＾２－９　と置いて同様にやってみると、ｘ＾２－９＝（ｘ－３）（ｘ＋３）になる理由ももっと理解が深まります。

従って、実数の範囲（中学生～数ＩＡの範囲）では、これは因数分解できない、ということになります。

ご参考に。

お礼

ご回答ありがとうございました。

でもごめんなさい、
よくわかりませんでした。

でも本当にありがとうございました。

補足

実数解…？

う～ん、わかりません。

回答No.5

5keikei5

(Ｘの４乗―８１)
Ｘの４乗はＸの２乗の２乗 ８１は９の２乗
よって
(Ｘの２乗＋９)(Ｘの２乗―９)となります

(Ｘの２乗＋９)はこれ以上因数分解できませんが(Ｘの２乗―９)はまだ因数分解できますよね!?

よって
(Ｘの２乗＋９)(Ｘ＋３)(Ｘ―３)となります

ちなみにNo.2の方の回答は高一で習いますよ！

お礼

ご回答ありがとうございました。
ごめんなさい、
因数分解できるかとか
よくわかんないので復習したいと思います。

本当にありがとうございました。

補足

なぜ
（Xの2乗＋９）
が因数分解できないのですか？

回答No.4

gohtraw

ｘ＾４　（ｘの四乗の意味）　は　ｘ＾２　（ｘの二乗の意味）の二乗です。８１は９の二乗です。従って
ａ＾２－ｂ＾２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
の公式を使うと与式は
（ｘ＾２＋９）（ｘ＾２－９）
となります。さらにｘ＾２－９に上記の公式により（ｘ＋３）（ｘ－３）　ですから、与式は
（ｘ＾２＋９）（ｘ＋３）（ｘ－３）
となります。ｘ＾２＋９は（中学の範囲では）これ以上因数分解できません。

お礼

ご回答ありがとうございました。

X＾２＋９
はなぜ因数分解できないのですか？

ありがとうございました。

回答No.3

spring135

公式

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

を使います。これが使えるということがすぐピンとくる程度の繰り返し訓練しなければなりません。

x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2-9)(x^2+9)

初めの(　)の中はさらに公式が使えることに気が付かなければ高校入試は不合格です。

x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)

後のかっこはこれ以上因数分解できません。これもしっかりと覚えてなければなりません。

従って答えは

x^4-91=(x-3)(x+3)(x^2+9)

お礼

ご回答ありがとうございました。
因数分解をするのを忘れないようにしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Temperman

xの4乗 を x^4　と表記します。同様に　x^2　は xの2乗　の意味です。

Y=x^2　とします。　xの2乗をひとつにまとめてYとした　とでも考えてください。

すると　x^4　は　Y^2　とあらわせますよね？
x^4 = x * x * x * x = (x*x) * (x*x) = Y*Y = Y^2 という計算です。
*は「かけ算」の記号です。

さて、問題の式ですが

x^4 - 81
=Y^2 - 9^2
=(Y-9)(Y+9)　★
=(x^2 - 3^2)(x^2+9)
=(x-3)(x+3)(x^2+9)　★

となります。
★をつけた式の前後では　X^2-Y^2 = (X+Y)(X-Y) という公式を使っています。
よって答えは

(x-3)(x+3)(x^2+9)

となります。Yは自分で勝手に作った記号なので答えには使えません。かならずx^2に直してくださいね。

お礼

う～ん…
う～ん…

わかりやすいはずなのに
私の想像力のなさでわかんないです…
でも代入？するとわかりやすくなるんですね。
参考にしようと思います。

ご回答ありがとうございました。

補足

（X－３）（X＋３）（X＋３）（X＋３）
という答えではだめなんですか。

回答No.1

asuncion

x^4
は、x^2の2乗です。
また、
81
は、9の2乗です。

たぶん、「何とかの2乗-かんとかの2乗」を因数分解するときの公式が、
教科書か何かに載っていると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

でもわかんない！！

でもありがとうございました。

まず教科書を読みます。

補足

やってみましたのですが、

＝（X＋３）（X＋３）（X＋３）（X－３）
＝（X＋３）の３乗（X－３）

という答えになりました。

間違っているのですが、
私の計算方法は何が違うのでしょうか？

お願いします。