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証明方法について

座標平面上の点を原点周りにθだけ回転する線形変換をfθで表しさらにそこからφだけ回転する線形変換をfφとしたときの事で まず、fθ○fφ＝fθ＋φを証明したいのです。 ここで、普通に考えれば確かにそうなることは分かるのですが、証明となるとどう手順を踏めばいいのでしょうか？ あとfθ○fφを表す行列を行列の積を用いて求めていきたいです。これはまったく手が付けられず困っています。合成変換の場合はどうなるのか？ 最後に上の行列がfθ＋φを表す行列にひとしいことを利用して、証明したいのですがこれは上が分からないので・・・・。 sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ cos(φ+θ)=cosφcosθ+sinφsinθ 是非よろしくお願いします！

みんなの回答

回答No.3

下の回答で 　dU/dθ = -iσ は 　dU/dθ = -iσU(θ) に訂正して下さい。

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回答No.2

mezasedaikenさん、こんにちは。角θの線形変換を表わす行列をU(θ)とします。θが無限小の場合を考えてみると、 　[1]→[ 1]　[0]→[-θ] 　[0]　[θ]　[1]　[ 1 ]　 と変換されます。したがって　 　dU/dθ = -iσ ここで 　σ = [0 -i] 　　　[i　0] はパウリ行列(の一つ)です。上の方程式をU(0)= I の条件の下に解くと、 　U(θ) = exp(-iθσ) となります。これからfθ○fφ＝fθ＋φは明らかです。σ^2 = I (単位行列)なのでU(θ)は 　[cosθ -sinθ] 　[sinθ　cosθ] となります。これと 　exp(-i(θ+φ)σ) = exp(-iθσ)exp(-iφσ) から sin(φ+θ)=sinφcosθ+cosφsinθ cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ も明らかです。

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  • kazhanako
  • ベストアンサー率26% (29/109)
回答No.1

もう学校を卒業して２０年以上たつのでずばり回答できないのですが、線形、非線形が専攻だったので、考えてみた のですが、ヒントぐらいしかでてきません。 ２ｘ２の行列から固有値が求められますよね。 固有値の実部が左上に向う２つの実部。虚部が右上に向う２つに相当し、虚部が回転の角度に対応していたと思います。 手元にテキストなしの記憶ではここまでしかアドバイス できません。ヒントになれば幸いです。

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