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数学III 不等式の証明
次の不等式を証明してもらえると助かります。 ∫(0→1) cos(π/2・x^p)dx ≧pπ/2(2p+1) ただし、p≧0 また、証明には sinπx≧πx(1-x) (ただし、0≦x≦1) が成りたつことを用いてよい。 ちなみに、x^pはxのp乗ということです。 ・は普通に掛け算してください。(x^pは分子にきます)
- milktocoffe
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>∫(0→1) cos(π/2・x^p)dx ≧pπ/2(2p+1) ただし、p≧0 > また、証明には sinπx≧πx(1-x) (ただし、0≦x≦1) が成りたつことを用いてよい。 0≦x≦1より、0≦x^p≦1だから、 sinπx≧πx(1-x)より、 sin(πx^p)≧πx^p(1-x^p) 2sin(πx^p/2)cos(πx^p/2)≧πx^p(1-x^p) sin(πx^p/2)cos(πx^p/2)≧(π/2)x^p(1-x^p) 0≦x^p≦1より、0≦πx^p/2≦π/2で、 0≦sin(πx^p/2)≦1だから、 cos(πx^p/2)≧sin(πx^p/2)cos(πx^p/2)≧(π/2)x^p(1-x^p)より、 cos(πx^p/2)≧)≧(π/2)x^p(1-x^p) ∫(0→1) cos(π/2・x^p)dx ≧∫(0→1)(π/2)x^p(1-x^p)dx 右辺=∫(0→1)(π/2)(x^p-x^2p)dx =(π/2)[{1/(p+1)}x^(p+1)-{1/(2p+1)}x^(2p+1)][0→1] =(π/2)p/(p+1)(2p+1) よって、 ∫(0→1) cos(π/2・x^p)dx ≧(π/2)p/(p+1)(2p+1) でどうでしょうか? 計算したらこのようになりました。違ってたら教えて下さい。
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- ferien
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ANo.2です。 少し追加です。 >0≦x^p≦1より、0≦πx^p/2≦π/2で、 >0≦sin(πx^p/2)≦1,0≦cos(πx^p/2)≦1(追加) だから、 >cos(πx^p/2)≧sin(πx^p/2)cos(πx^p/2)≧(π/2)x^p(1-x^p)より、 で訂正お願いします。
- B-juggler
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こんばんは。 難しく考えずに積分してみるんじゃないなかな? 場合わけがあるのか。 P=0 のときと それ以外。 P=0のときは、x=1だから、積分しようにもcosは関係なくなるね。 こっちは問題ないと思うんだけど。 後は普通に積分だけだと思うけど。 書き方なんだけど、間違っちゃいけないから補足してあるのはいいとして。 #これはいいことだよ^^; ∫(0→1) {cos「π/(2× x^p)」}dx と書いておいたほうが確実かな? 好みだけどね~。最後は手書きすればいいんだから。 cos(1/x) の積分ができないといわれるのならそれは問題だけど。 #教科書に載ってるからちゃんと調べよう♪ 泥臭くできそうなところまで行ってみてみて? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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