2次方程式についての質問
- 2次方程式p^2+2γp+ω^2=0の一般解はx=Ae^-(γ-√(γ^2-ω^2))t+Be^-(γ+√(γ^2-ω^2))tであり、非周期的な運動となる。
- 2次方程式p^2+2γp+ω^2=0の場合、γ^2>ω^2の場合は過減衰となり、pの2根は実数である。
- 2次方程式p^2+2γp+ω^2=0の場合、γ^2=ω^2の場合は臨界減衰となり、pは重根になる。この場合、一般解はx=(A+Bt)e^-γtである。
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2次方程式について質問です。
2次方程式 p^2+2γp+ω^2=0について質問です。 質問(1) (ii)γ^2>ω^2の場合(過減衰という)にはpの2根はともに実数でp=-γ±√(γ^2-ω^2) となる。一般解は x=Ae^-(γ-√(γ^2-ω^2))t+Be^-(γ+√(γ^2-ω^2))t と表され、非周期的な運動になる。A,Bは定数。 このようにありましたが、どうして 一般解は x=Ae^-(γ-√(γ^2-ω^2))t+Be^-(γ+√(γ^2-ω^2))t と表されるのか途中式などを教えてください。 また、非周期的な運動になるのはどうしてですか? 質問(2) γ^2=ω^2の場合(臨界減衰という)にはpは重根になるから、(ii)の形の一般解は使えない。この場合には x=(A+Bt)e^-γt が一般解(定数を2つ含み、しかももとの方程式を満足させる)になっていることが確かめられる。 『γ^2=ω^2の場合(臨界減衰という)にはpは重根になるから、(ii)の形の一般解は使えない』 とはどういうことですか? また、x=(A+Bt)e^-γt が一般解(定数を2つ含み、しかももとの方程式を満足させる)になっていることが確かめられる となるのはどうしてなのでしょうか? 質問が多いですが、途中計算も答えてくださいませんか。わかるところだけでも結構です。
- humanbeing
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何だか混乱しているようですが… 定係数線形常微分方程式を解く際に、補助的に 「特性方程式」と呼ばれる代数方程式を作ります。 二階の微分方程式に対しては、 特性方程式は二次方程式になります。 質問の「一般解」とは、 p^2+2γp+ω^2=0 を特性方程式に持つ もとの微分方程式の一般解のことを言っている ように受け取れる文面です。 ともかく、問題の出典を読み直して、 何が訊きたいのか整理してみてください。
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- spring135
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質問者は2次の常微分方程式と単なる多項式としての2次方程式を混乱しています。 質問の内容は微分方程式です。 タイトル、質問内容を整理して書き直して再度質問してください。
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