【中学数学】 図形

質問

図(添付)で、BD:DC＝2:1、FE:ED＝2:1であるとき、BE:EAを求めなさい。

答)7:2　です。

わかりやすい解説をお願いいたしますv

ちなみに、私の手元の解説では、FA:AC＝4:3からも導いてありますが、そもそもどうやって4:3なのかがわかりませんでした…

回答No.4

htms42

こういうのは面積を細かく求めて行くとたいていはうまく行きます。
メネラウスの定理もこの方法で導くことができます。

ＥＣを補助線として引きます。
△ＦＢＣの面積を１とします。

ＢＤ：ＤＣ＝２：１
ＦＥ：ＥＤ＝１：２
を使うと
△ＦＢＥ＝４／９
△ＥＢＤ＝２／９
△ＦＥＣ＝２／９
△ＥＤＣ＝１／９

これより
△ＥＢＣ＝３／９
ＦＣを底辺と見て
△ＢＥＦ：△ＢＥＣ＝(４／９)：(３／９)＝４：３
ＦＡ：ＡＣ＝４：３

ＢＥ：ＥＡも同じようにすればできます。
工夫してみて下さい。

回答No.3

titaniumcation

三角形の面積で考えるとわかりやすいと思います。
まず△FDC=Sとする。ここで△FBDを考えると△FDCと高さは同じで底辺の比が2:1なので
△FBD=2Sとわかります。同様の考察から以下の三角形の面積がわかります。
△FBE=4S/3 △BDE=2S/3 △CDE=S/3 △BEC=△BDE+△CDE=S
△FEC=△FDC-△CDE=2S/3
次にBE:EA=1:xとします。このとき△FBE:△FEA=1:x △BEC:△ECA=1:x なので
△FEA=4xS/3 △ECA=xS
よって△FEC=△FEA+△ECA=7xS/3
△FEC=2S/3であったから　2S/3=7xS/3
したがってx=2/7なのでBE:EA=7:2

回答No.2

ferien

ＦからＢＣに平行な直線を引き、ＢＡの延長との交点をＧとする。
△ＥＢＤと△ＥＧＦは相似です。
ＢＤ：ＧＦ＝ＤＥ：ＦＥ＝１：２より、
ＢＥ：ＥＡ＋ＡＧ＝１：２　……（１）
△ＡＢＣと△ＡＧＦは相似です。
ＢＤ：ＧＦ＝１：２＝２：４，ＢＤ：ＢＣ＝２：３より、
ＢＣ：ＧＦ＝３：４だから、
ＢＥ＋ＥＡ：ＡＧ＝３：４　……（２）
（１）（２）より、
ＥＡ＋ＡＧ＝２ＢＥ，４（ＢＥ＋ＥＡ）＝３ＡＧ
２式からＡＧを消去して整理すると、
２ＢＥ＝７ＥＡ
よって、ＢＥ：ＥＡ＝７：２

になりました。

回答No.1

takayoshi16

メネラウスの定理を使うと解けますよ。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

メネラウスの定理、ですか、初耳です。
アドレス記載ありがとうございますv