• 締切済み

論理学における矛盾に関して

勉強をしていて分からない問題が出てきたので Pをある論理式、Qをある論理式の集合としたとき 1.Q |= P と Q not|= Pがともに成り立つことは有り得るかどうか 2.Q |- P と Q |- ¬P がともに成り立つことは有り得るかどうか 3. |- P と |- ¬P がともに成り立つことは有り得るかどうか この3問が分かりません |=はトートロジー  |-は証明可能という意味です 1つでも分かりましたら回答よろしくお願いします

  • Feli
  • お礼率86% (25/29)

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

わざわざ聞いたのは「記号の定義を確認する」だけじゃなくって「実は定義からちょっと考えれば出るはず」ということを示唆したつもりなんだけどね.... でも, 「|=はトートロジー」で「トートロジー」が「真理値表において他の式がどんな値をとっても常に真」という意味だとしても, それをそのままで Q |= P とか Q not|= P には適用できないでしょ? 「他の式」が何なのか, あるいは何が「常に真」なのかわからないじゃん. 例えば, 「P が常に真」ということとしてしまうと, 「Q |= P」における Q って無意味だよね. ということは, 単に「恒真」というだけではない定義が, 「Q |= P」にはあるはずだよ. 「証明可能」もそう. 「証明可能」であるというためには何を示さなければならないのか, わかりますか?

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「トートロジー」とはどういう意味ですか? 「not|=」は何を意味するのですか? 「Q |- P」や「|- P」というためには何を示さなければならないのですか?

Feli
質問者

お礼

トートロジーとは恒真つまり真理値表において、他の式がどんな値をとっても常に真 であるということです。 not|=はトートロジーではないという意味です。 Q |- P PはQを前提に証明可能 |- P Pは前提無しで証明可能 ということです 記号が変換できなかったので分かりにくくてすみません

関連するQ&A

  • 論理式

    (P ∧ ¬Q)→P (1) 上の論理式が恒真か否か示せ。 (2) 上の論理式が証明可能か否か示せ。 (1)(2)どちらかでも分かる方がいらっしゃいましたら 教えていただきたいです

  • 論理式

    集合P,Qにおいて、以下のどちらが正しい論理式ですか? 1.(∀x)(P∧Q)⇒(∀x)P∧(∀x)Q  2.(∀x)(PvQ)⇒(∀x)Pv(∀x)Q よろしくお願いします。

  • 【命題「P→Q」における論理の相対性について 】

    命題「P→Q」を否定、論理和、論理積の記号で 表記した場合、  (¬P)∨Q・・・(1)  ¬(P∧(¬Q))・・・(2) となることが書籍に記載されておりました。 (「プログラマの数学」(ソフトバンククリエイティブ)に(1) 「論理と集合のはなし」(日科技連)に(2) がそれぞれ掲載されていました。) ベン図や真理値表も併せて記されていたため、 「P→Q」が上記、2つの式で表記できることまでは 理解できました。 ここで、(1)から(2)、(2)から(1)を導出する場合に、 どのような式変形をすれば  (¬P)∨Q ≡ ¬(P∧(¬Q)) を証明できるのでしょうか? ド・モルガンの法則を導出する際に使う 「論理の相対性」が大いに関係していると (むしろ、「論理の相対性」そのもの?) 勘繰っているのですが、確証できません。 お知恵の拝借を頂けませんでしょうか? よろしくお願いします。

  • 論理学 論理式の真理値

    論理学 論理式の真理値 ¬(P∧¬Q) の真理値があっているか見ていただけますか。 P Q   ¬Q     P∧¬Q     ¬(P∧¬Q) 1 1    0        O         1 1 0    1        1         0 0 1    0        0         1 0 0    1        0         1 ある記号論理学の入門書(二刷)を使って勉強しています。 具体的な論理式を挙げてタブローの作り方を解説しているページに、「¬(P∧¬Q) が1であるためには、Pか¬Qのどちらかが0でなければならない」という記述があります。しかし、この記述は、僕が上でおこなった真理値の計算と矛盾します。PとQの双方が1でも全体は1になるのではないでしょうか? ¬(P∧¬Q)の真理値はP∧¬Qの真理値を単純に反転させて出したものですが、この手続きに不備があるのでしょうか?ド・モルガンの法則を使って¬P∨Qに変形させてから計算しても、やはり同じ結果になりました。 僕の真理値計算が間違っているのでしょうか?分かるかた教えてください。

  • 命題論理で証明の仕方が分からない論理式があります

    論理式 ¬P→(P→Q) は最少命題論理で証明可能なのでしょうか? 直観主義命題論理では簡単に証明図が書けたのですが、最少命題論理ではいろいろ試したのですがうまくいきませんでした。 もし最少命題論理で証明可能ならばその証明図を、最少命題論理では証明できないのであればその理由を(証明不可であることを証明するなんてできないのかもしれませんが)教えてください。お願いします。

  • 数理論理学で

    数理論理学で Δ→Εの証明とΕ→Ζの証明が存在するときΔ→Ζの証明が存在する事を証明せよ という問題です どうやら (Δ→Ε)→((Ε→Ζ)→(Δ→Ζ))がトートロジーになる事を示してmodus ponensを二回使って証明するようなのですが どうやって(Δ→Ε)→((Ε→Ζ)→(Δ→Ζ))がトートロジーになる事を示すのかわかりません (Δ→Ε)→((Ε→Ζ)→(Δ→Ζ))が命題論理の論理式なら真理値表で示せるのですが 問題を見た限り命題論理の論理式という保証はどこにもなさそうなので…… それとも私の考え方が間違っているのでしょうか? わかる方いましたらよろしくお願いします

  • 論理学の条件的立言に関して

    ウェスリー・サモン『論理学』の中に、条件的立言(実質的)というのが出てきます。いわゆる もし p ならば q である という類いの立言のことですが、これを記号で p ⊃ q というふうに記述してありました。これがよくわからないのです。まず、「もし p ならば q である」というのは、何者であってもそれが p でありさえすれば自動的に q である、というふうに解釈でき、集合論的に表現すると大きな円(q)の中に小さな円(p)が存在しているという感じになるかと思います。とすれば、部分集合を表す ⊃ という記号は、この場合逆向きになるはずではないでしょうか。つまり、「p ⊂ q」でなければならないと思うのですが。上記の記述では、「q は p の部分集合である」という意味になってしまうかと。 私の理解に問題がありましたら、お恥ずかしい限りですがご指摘ください。お願いします。

  • 論理式は真理表を使わないと証明できないでしょうか?(「P→『Q∨R』」⇔「『P∧¬Q』→R」)

    お世話になります。よろしくお願いします。 今まで私は 論理式といえば (1)「P→Q」⇔「¬Q→¬P」(対偶) (2)「P→Q」⇔「¬P∨Q」 の2つしか知りませんでした。 そして最近数学の証明問題で大変便利な (3)「P→『Q∨R』」⇔「『P∧¬Q』→R」 というものを知りました。 確か先の(1)、(2)は真理表を使って証明した記憶があるのですが、 (3)は文字が3つなので、真理表での証明はとても大変だと思います。 (3)は結構当たり前の事実のような気がするのですが、もっと簡単に証明する方法はないでしょうか? よろしくお願いします。 また(1)、(2)、(3)以外に数学を証明するのに役に立つ論理式をご存知でしたら是非教えてください。 こちらも合わせてよろしくお願いします。

  • 論理学の問題なのですが

    この問題のときかたを教えてください。 論理式が真か偽か、偶然的かを判定して真式にはA,偽式にはB、偶然式にはCを。 (1) ~pVq⊃q (2) ~(pVq)≡(p&q) (3) (p⊃q)V(~q⊃~p) (4) ~(p&q⊃(~p⊃q)) (5) (~pVq)&(q⊃r)⊃(p⊃r)

  • 論理学について

    論理学の命題論理式の真理表がよくわかりません。 (PかつQかつR)ならば¬(¬Pかつ¬Qかつ¬R) この時、どうなりすか? ご教授お願いします。