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数IIの問題です
α、β、rは鋭角で、tan α=2、tan β=5、tan r=8のとき α+β+rをもとめよ 解説には √3<2<5<8であるから-(1) tanπ/3<tanα<tanβ<tanrで π/3<α<β<r<π/2である-(2) ゆえにπ<α+β+r<3π/2-(3) とかいているのですがなぜ、(1)のように√3を基準にして考えるのか、 √3をなぜ使うのかもよくわかりません それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません α+β+rにするとなぜ両辺に3をかけられているのですか
- nonstylelove
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>(1)のように√3を基準にして考えるのか、√3をなぜ使うのかもよくわかりません 2より小さくて、√3となるtanθのθがわかりやすいからです。 >(2)から(3)にする方法がよくわかりません αもβもrもπ/3より大きいので、π/3<α+β+rは理解できますよね? 一方、αもβもrもπ/2より小さいので、α+β+r<3π/2です。
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- alice_44
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1 でもよいが、√3 のほうがセンスはよい ように思う。 どちらでも α+β+γ を一つに決められるが、 tan が一意になるように範囲を制限しておくほうが、 話の通りが良いと思われるからだ。 ま、どちらでもよいのだけど。
- mister_moonlight
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>√3をなぜ使うのかもよくわかりません それは“1”でも良い。tan45°=1だから tanθのグラフを 0<θ<90°で考えると単調増加だから tanα<tanβ<tanr。 よって、π/4<α<β<r<π/2 → 3π/4<α+β+r<3π/2となる。 要するに、tan(α+β+r)=1より 0<α+β+r<3π/2 から α+β+r=π/4、or、5π/4の2つが出てくる。 その2つの値が条件に適するかどうか、を判断するための条件を求めているだけ。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
この模範解答は、よくない。次のようにすると良い。 α+β+r=(α+β)+γ と考えると良い。 tan(α+β)=加法定理から=-7/9=xとし、tanr=yとすると、x=-7/9、y=8の時、tan(α+β+γ)=(x+y)/(1-xy)の値を求めるだけ。 但し、0<α<π/2、0<β<π/2、0<γ<π/2 からすべて足すと 0<α+β+γ<3π/2 に注意する。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
π/3 の由来は、テキトーだと思います。 そもそも、これは α+β+γ の値を求める問題です。 質問の不等式を示しただけでは、解になりません。 ではなぜ、この不等式が出てきたかを想像すると… tanα, tanβ, tanγ の値が判っていますから、 tan の加法定理を使うと tan(α+β+γ) の値を 求めることができます。 そこから α+β+γ の値を決めようとするとき、 α, β, γ が鋭角という条件だけでは 0 < α+β+γ < (3/2)π であって、 この範囲内に tan の値が同じになる数が 複数存在してしまいます。 事前に α+β+γ の範囲を少し絞り込んで おかないと、α+β+γ が一つに定まらない訳です。 このため、tan の値が tanα より小さい所か tanγ より大きい所に、θ の値が既知であるような tanθ を 見つけておきたかったのでしょう。 tan(π/3) = √3 < 2 を、たまたま思いついた ということだと思います。
- asuncion
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>√3をなぜ使うのか 1:2:√3の直角三角形を使うと、考えやすいからではないかと思います。 >それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません >π/3<α<β<r<π/2である-(2) これは、下記の3つの式を1つにまとめたものです。 π/3<a<π/2 π/3<b<π/2 π/3<c<π/2 これら3つの式を足し合わせても不等号の向きには影響がありません。よって、 π<a+b+c<3π/2
- sphenis
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>√3をなぜ使うのかもよくわかりません √3を使うのは、tanπ/3を1つの基準として問題を解いているからです。 tanπ/3=√3ですので、α、β、γが鋭角である(0<α<π/2、0<β<π/2、0<γ<π/2)という条件から、 √3<2<5<8⇒tanπ/3<tanα<tanβ<tanγ >(2)から(3)にする方法 α=β=γ=π/3とすると、α+β+γ=π α=β=γ=π/2とすると、α+β+γ=3π/2 ですね。 しかし、実際の条件はπ/3<α<β<r<π/2です。 α、β、γはいずれもπ/3より大きくπ/2より小さいということですから、求めるα+β+γの値はα=β=γ=π/3のときより大きく、α=β=γ=π/2のときいより小さくなくてはいけません。 よって、π<α+β+r<3π/2となります。
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