- ベストアンサー
Σ_{l}exp(ikr_{l})について
教科書にΣ_{l}exp(ikr_{l})はkr_{l}が2πの整数倍でない場合はゼロになると書いてあったのですが証明できません。証明をお願いします。 ちなみに散乱問題に出てきたしきでしてkは散乱波数、r_{l}はl番目のターゲット粒子の位置になっています。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
関連するQ&A
- ブロッホの定理の波数kについて質問です!
周期Rで周期的なポテンシャルV(r+R)=V(r) (R:格子ベクトル) の中の電子の波動関数の関数形がΨ=Uk(r)*exp(ikr)となる というブロッホの定理ですが、誘導過程でなぜexp(ikr)が出てくるのかが疑問です。 「半導体の物理」(御子柴先生:産業図書出版)のP36に証明があるんですがそこでは|λ^2|=1なλならなんでもよく(exp(ikr)とする必要はなく)kになぜ波数としての役割を与えるのかが示されていません。導出の過程ではkは波数でなくてもいいはずです。数学的にすっきりとブロッホ関数が平面波×周期関数の振幅になることを導きたい! わからないんです!お願いします汗
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子化した電界の交換可能性
量子力学を独学で勉強しているのですが,8 時間ほど悩んで分かりません.教えて頂けないでしょうか? 生成演算子を a,消滅演算子を a†,波数ベクトルを k,プランク定数 h,誘電率 ε,モード体積 V,角周波数 ω_{k},位置ベクトル r とします.またモードの偏光と伝播方向を同時に表すベクトルを υ とします. このときベクトルポテンシャルを表す演算子 A および,電場演算子 E は A = Σ_{k} (h / 4πεV ω_{k})^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} + a† exp (i ω_{k} t - ikr)} E = Σ_{k} i (h ω_{k} / 4πεV)^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} - a† exp (i ω_{k} t - ikr)} と表せます.また m, n をそれぞれ x,y,z のいずれかとして,υ のデカルト成分を υ_{m},υ_{n} とするとき, E_{m},A_{n}に対する交換関係 [E_{m} (r), A_{n} (r')] = (ih / 4 πεV) Σ_{k} ν_{m} ν_{n} {exp (ikr - ikr') + exp(-ikr + ikr')} と表されます.ここまでは理解できました. さらに,任意のベクトル場を V (r) とし,そのフーリエ変換を V (r) = (1 / 8 π^{3}) ∫dk V(k) exp (ikr) またベクトル場の縦成分と横成分への分解を V (r) = V_{T} (r) + V_{L} (r) ∇・V_{T} (r) = 0 ∇×V_{L} (r) = 0 とします.このとき ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = (ih / 2 πε) V_{T} を証明したいのですが,うまく証明できません.教えていただけないでしょうか. 自分なりに展開してみたところ ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = ∫dr' (ih / 2 εV) V(r') {exp (ikr - ikr') + exp (-ikr + ikr')} かなとも思うのですが,この展開が正しいのか自信がないのと,正しいとして先に進めません.ご教授いただけないでしょうか.
- 締切済み
- 物理学
- 電磁波の遠方界の問題で
電磁波の遠方界の問題で E(r) = E0(r) + 4π???G(r,ξ)(k^2+∇(ξ)∇(ξ))*P(ξ)d^3ξの式をkr→∞で解くと E(r)|(kr→∞) = k^2exp(ikr)/4πr???[ε(ξ)-1]{E(ξ)- r[r*E(ξ)]}exp(-ikr*ξ)d^3ξ ただし P(r) = (ε(r)-1)E(r)/4π G(r,ξ) = exp(ik|r-ξ|)/(4π|r-ξ|) ∇(ξ)はd/dξ となる様なのですが、部分積分なども取り入れて解く様なのですが第二式のように解けません。 どなたかわかる方がいらっしゃったら教えて下さい。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ボーア理論 2πr=nλ?
ボーア理論でなぜ「2πr=nλ」を満たさなければならないのかわかりません。 教科書には波長の整数倍にならなければ、やがて波は消えてしまうと書いてあるのですが、なぜ波が消えるでしょうか? 電子(粒子)が波のように振舞っているだけであって、1周した時にちょうど波長の整数倍にならなくても、電子(粒子)の波の動きは消えることはなく永久に波の動きをし続けると思うのですが?
- ベストアンサー
- 物理学
- 水素原子の量子力学で、l(l+1) とおく議論
水素原子を解く際、 (rによる項)=(θ、φによる項)= l ( l+1) (l:小文字のエル) とおき、l が整数のときはルジャンドル陪多項式に帰着できるので・・・ という議論がありますが、これだけでなく 「 l が整数でないときにこの微分方程式を満たしえない」 ことを示さないと、角量子数が離散的になることの説明にはならないはずです。 ルジャンドル陪多項式の満たす微分方程式において、l が整数でないと階が存在しないことは、どのように証明するのでしょうか?? 以前シッフの本を読んだとき、 「l(l+1)において、l が整数でないと、θに依存する項を解いたときに、θ=0 で発散してしまう」と書いてあったのですが、行間が埋められませんでした
- ベストアンサー
- 物理学
- 電磁波が横波であることの証明
電磁波E=E0_cos(k*r+wt)が横波であることを証明する際に、平面波であることを仮定します。(E0:電場ベクトル、k:波数ベクトル、r:位置ベクトル、w:周波数、t:時間) そもそも平面波であれば、等位相面が波数ベクトルを法線ベクトルとして持つことから、電場ベクトルE0は波数ベクトルに垂直になることは当たり前だと思います。 これは証明するまでもないと思うのですが、なぜわざわざ証明するのでしょうか?
- 締切済み
- 物理学
- 大気で減光した後の光の量
星の光が大気に入射して大気を構成する粒子による散乱、吸収から減光され、観測者に届きますが、最初の光量を「 I 」と置き、その光が距離「 R 」の大気層を通過して観測者に届いたときの光量を「 I' 」とするとどのような関数で書けるのでしょうか? 単純に考えると I'= I・exp(k・R) のような気がしますが、厳密にはどうなんでしょうか? URLか参考書でも結構ですのでよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 天文学・宇宙科学
- バンド理論の初歩でつまずいています!!
以下、僕の理解を示すため、あと、質問に入るため、すこし長文を書きます。 以下が大体の僕の理解だと思ってください。一応、量子力学、統計力学は理解しているつもりです。 結晶中では原子や分子の単位構造が規則的に並んでおり、電気伝導においてはその規則的な構造の中を電子が動き回る。ここでは簡単のため、長さがLの1次元の結晶を考える。量子力学から、閉じ込められた自由電子の波数kとエネルギーEには E = (h_bar*k)^2/(2*m) ; k = ±2πn/L という関係にある。このため、通常であれば自由電子のエネルギーはこの式によって連続的であるはず。 結晶が単位構造が1原子からなり原子間隔がaであるとする。次の式が満たされるとき、波数kの電子の波動関数はブラッグ反射を起こして、その存在密度は散乱される。 k = ±π/a このため、結晶内で式を満たす波数k付近の波数を持つ電子は自由電子のようにはふるまえない。進行波は散乱され、電子の波動関数は定在波でしか許されない。1つの自由電子の波動関数ψの定常波はシュレーディンガー方程式から ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx) で与えられる。A,Bは任意の定数である。これよりこのモデル結晶での自由電子の波動関数の定在波は、 ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx) ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx) のどちらかの形をとると考えられる(☆)。 これにより2つのことなるエネルギーを取りうる。この差をバンドギャップという。この差によってエネルギーは連続性を失う。 ひっかかっているのは☆の部分です。 ・・・なんでこの2つの形が許されるのですか? 個人的には差をとっているψ(-)が大変気に食わないのですが・・・。波の重ね合わせの議論ならば、和のψ(+)で十分では? かなり考えたのですがもう泥沼です。助けてください。
- 締切済み
- 物理学