∫[0,+∞] sin(kx)dxの値は？

質問

以下の計算になると思いますが、、、
∫[0,+∞] sin(kx)dx＝∫[0,π/2k] sin(kx)dx＋∫[π/2k,+∞] sin(kx)dx
＝∫[0,π/2k] sin(kx)dx　＋　∫[0,+∞] cos(kx)dx
＝1/k + ∫[0,+∞] cos(kx)dx

ここで、∫[0,+∞] cos(kx)dx　は、
∫[0,∞] cos(kx)dx＝(1/2)∫[0,∞]｛exp(ikx)+exp(-ikx)}dx
＝(1/2)∫[0,∞] exp(ikx)dx+∫[(0,∞] exp(-ikx)dx
＝(1/2)∫[-∞.0] exp(-ikx)dｘ+∫[0,∞] exp(-ikx)dx
＝(1/2)∫[-∞.+∞] exp(-ikx)dx
＝δ(k)/2
です。

したがって、
∫[0,+∞] sin(kx)dx＝1/k + δ(k)/2
と思います。
しかし、
ｋ＝０では、
∫[0,+∞] sin(kx)dx＝∫[0,+∞] ０　dx＝０
で、右辺は、δ(k)/2は怪しいですが、少なくとも、　1/k＝∞　です。
正しい、積分方法を、お教え下さい。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

超関数を使えるんなら、
2i sin(kx) = exp(ikx)-exp(-ikx)
であるから
sgn(x) = (x>0 then 1 , x<0 then －1)
のフーリエ変換
∫[-∞, +∞] sgn(x)exp(-ikx) dx
を計算すれば宜しいのではないかな。
その際に、
(d/dx) sgn(x) = 2δ(x)
[ ∵任意のテスト関数F(x)について、
∫[-∞, +∞] ((d/dx) sgn(x)) F(x) dx
= -∫[-∞, +∞] sgn(x) F’(x) dx = 2F(0)
= ∫[-∞, +∞] (2δ(x)) F(x) dx ]
を使い、そして部分積分をすれば簡単。

お礼

いつも、的確なアドバイス、ありがとうございます。

回答No.1

noname#185374

単純に広義積分の定義に従って計算してはいけないのでしょうか？

∫[0,∞]sin(kx)dx = lim[X→∞]∫[0,X]sin(kx)dx．

k = 0 の場合には，被積分関数が常に 0 なので，求める値は 0．

k ≠ 0 の場合には，
∫[0,X]sin(kx)dx
= [-(1/k)cos(kx)][0,X]
= (1/k){1-cos(kX)}．
ここで X→∞ とすると値は振動して収束しません．
よって，積分は収束しません．

（勘違い回答になっていたらすみません．）

お礼

ありがとうございます。
広義積分は、僕も考えました。
しかし、
∫[0,+∞] cos(kx)dx　の場合、
＝lim[X→∞]∫[0,X]cos(kx)dx
X→∞ とすると値は振動して収束しません．
よって，積分は収束ないことになり、
正しい答え：
δ(k)/２　になりません。