多値論理で〔R⊆RQ〕＝1の意味がわかりません

質問

元の文献では、〔や〕　は、二重かっこです。
単に　「R⊆RQ　が成り立つ」　というのとどう違うのでしょうか？

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2に付けられたコメントについてです．

> 少なくとも、普通の集合論の⊆　じゃないです。
> 何故なら、そう仮定すると、
> RQ　つまり、量子物理量は、実数を含み　より大きな集合になります。

　「普通の集合論の⊆」であれば，「RQはRを含み，より大きいか，あるいは同じ」という意味でしょうから，おっしゃるような矛盾に直結する訳じゃないでしょう．
　ただし，Rが普通の実数のことで，RQがV(Q)の部分集合であるとすると，両者が直接「⊆」で結ばれっこないわけで，ならば「⊆」はRとRQの（普通の論理での）準同型関係を言っているように思われます．
　さて，もしも「V(Q)上の数」の構成が超積の格好になっていたら，それは超準解析学を定義しているのかも．そうなると，「(準同型の意味で）RQがRを真に含む」というのもアリでしょう．

> 有限または可算無限次元の行列からなる集合が、実数の集合より大きい　となる
> のは矛盾

　RQは「有限または可算無限次元の行列からなる集合」と対応するんですか？（いやそれは書いてあったっけ？）そうだとしても，RQの部分集合が「有限または可算無限次元の行列からなる集合」と相応すれば十分なのでは？
　また，もしかすると，「可算無限次元行列の代数」や「ヒルベルト空間の代数」というモデルでは扱えないところをやるためにこそ，こんなややこしいV(Q)を持ち出した，ってことはないでしょうか．たとえば，「有限または可算無限次元の行列からなる集合」よりも広い集合を使うことで，連続の場合も統一的に扱うとか．

　とか言ってますが，「束に値を持つ多値論理上の集合論で数を構成する」という話がどうも今ひとつ分かってないもんですから…

お礼

追及いただき、ありがとうございます。

小澤正直博士の一連の論文を読むと、
射影仮説は、量子力学の「公理」の一つとされていますが、
小澤正直博士は、これに異を唱えて、射影仮説を用いない「量子力学の体系」を
築こうとされているようです。
おそらくですが、そのために、「束に値を持つ多値論理上の集合論で数を構成する」
のだと思われます。

参考までに：
　　　波束の収縮という概念について（I)　：科学基礎論研究1995,Vol.23,No.1,P 15
　　　波束の収縮という概念について（II)　：科学基礎論研究1996,Vol.24,No.1,P9
　　　波束の収縮という概念について（III)　：科学基礎論研究1997,Vol.25,No.1,P25
　　　波束の収縮と再現性の概念的差違について（III)　：科学基礎論研究1997,Vol.25,No.1,P55
　　　非可換観測量の同時測定可能性　：数理解析研究所講究録　第1565巻2007年133－142
　　　量子力学における測定と実体：2010科学基礎論学会　 http://phsc.jp/dat/rsm/20100613a3.pdf

科学基礎論研究の論文は、 http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/top_ja.php で、上記を検索したら出てきます
　　　（詳細検索で、著者名を　　小澤正直　　と指定すれば、簡単です）

尚、初期の論文は、非選択測定において、射影仮説を用いないことに成功していますが、
これは、通常の測定には、当てはまらないとされています。
清水明博士の２００７年の文献：http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/archive/handai2009.pdf
によると、
物理量Qの測定とは、観測者がQについての情報I を得る行為で、
I≡log2 [その測定により区別できるようになる状態の数]
とすると、非選択測定では、I＝０ です。
I＞０ になるためには、射影仮説が必要
とあります。
測定について不可思議な論文を見かけたら、そのあたりを注意するべし　
とまで書かれていてますｗ

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです．

> 「14　量子集合論」に出てきます。

ぬわんと，量子論理の話でしたか．

> 集合a,b間の関係　a∈b,α~∈b,a＝b,a≠bはそれぞれ

>[a∈b]＝1,[a~∈b]＝0,[a＝b]＝1,[a＝b]＝0

>と同等。　（集合間の関係は、普通、∈じゃなく⊂で表すと思いますが）

>とあります。

　多分，a∈bは「aはbの要素」という意味でしょう．集合が集合の要素になって何もおかしくない．またα~∈bは[a∈b]＝0では？　で，結局「⊆」が何なのか書いてないし．


>Q を完備オーソモジュラー束とし、

>V (Q) を,Q 値モデル（Q値集合論）,

>V (Q) の元を　Q 値論理における集合（Q 値集合）とすると、

　てことは，完備オーソモジュラー束Q上に値を取る論理を考えている．量子論理なら多分「完備オーソモジュラー束」ってのは演算子の集合のことだろうが，これも多値論理の一種ではある．たとえば，Q値集合Xとその要素xとの関係は

[x∈X]∈Q (ただし，[]の外側の"∈"は普通の集合論の記号．ああややこし）

ということになるわけ．でもQの要素の表記について説明がないから，[x∈X]=1とか言ってみても意味不明である．（ま，おそらくは束Qの最小元を"0", 最大元を"1"と書いているんだろうと思いますが．）しかし，V (Q)の正体が書いてないから「Q値集合」や「Q値集合の要素」の実体が何なのか不明．つまり

> V (Q) の自然数の全体はω に対応し，V (Q) の有理数の全体は　有理数Q に対応する．
> V (Q) の実数の全体ＲQ は，V (Q) で定義される有理数のデデキント切断の全体として定義される．


と言うときの「V (Q) の自然数の全体」だの「V (Q) の実数の全体ＲQ 」の意味も不明．（それに，記号Qが２通りの意味に使われている？おそらく元の表記ではフォントが異なるのでしょうけれど．）
　おそらくV(Q)が「自然数と1:1対応が付けられる無限集合」や「有理数と1:1対応が付けられる無限集合」や「実数と1:1対応が付けられる無限集合」を含んでいる，ということでやんしょう．しかしこれはV(Q)をどう定義したかによって決まるわけ．
　もしV(Q)の構成法が具体的に与えてあるのだとすれば，多分その定義は，普通の集合論における論理をブール値Q={0,1}を取るような２値論理（たとえば"0"は偽，"1"は真を表すことにする）で書き換え，さらに，Qを適当な完備オーソモジュラー束で置き換えたもの（ただし"0"を束の最小元，"1"を最大限と対応づける），という形をしていて，その結果として「V (Q) の自然数」だとか「V (Q) の実数」が（普通の集合論の普通のやり方に倣って）定義されるのだろうと思います．
　また，もしV(Q)の構成法が具体的には与えられておらず，ただその性質（公理）によって定義されていて，そしてその存在が証明される，という形になっているのだとしたら，「V (Q) の自然数」や「V (Q) の実数」もそれ自体，定義を与えて存在を証明する必要がある筈．
ま，それはともかく，

> すると，[R ⊆ ＲQ] = 1 となる．

　まず，右辺の1は普通の数ではなくて，Qの要素（多分演算子）である，ってところは要注意です．さて，[R ⊆ ＲQ]=1というのはおそらく，「普通の集合論の実数の集合RがQ値集合論の実数の集合RQに埋め込めるということを表しているんでしょうけれども，それが証明を要することなのかどうかはV(Q)の定義の仕方に依るだろう．また，V(Q)を「モデル」と呼んでいるってことは，その証明をV(Q)の体系の外側（普通の論理を使う）で行うという点にも要注意．（つまり，Q値集合論やQ値論理における記号と，普通の集合論や論理での記号とを厳密に区別しないと，混乱してぐちゃぐちゃになるでしょう）．

　というわけで，ご質問の件を理解するためには，普通の集合論で自然数や有理数や実数を構成するやり方（いくつかの流儀があります）を数学基礎論の教科書でじっくり調べて，それをV(Q)の定義と比較してみることが必要だろう，ということだけは言えそうです．

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。

＞結局「⊆」が何なのか書いてないし
ですね。
少なくとも、普通の集合論の⊆　じゃないです。
何故なら、そう仮定すると、
RQ　つまり、量子物理量は、実数を含み　より大きな集合になります。
量子物理量は、行列でも表すことができますから、
すべての行列（有限または可算無限次元とする）からなる集合Aは、実数の集合より大きい
となり、これは、矛盾です。
（http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7090450.html　より、Aは、実数の濃度）

補足

量子物理量は、ヒルベルト空間での演算子ですから、これは、
有限または可算無限次元の行列で表すことができますから、

有限または可算無限次元の行列からなる集合が、実数の集合より大きい　となるのは矛盾

に訂正します。
（ヒルベルト空間には、非可算無限次元のベクトルは入らないから、演算子も可算無限次元の行列でいいと思うので）

回答No.1

stomachman

この質問文では，多分誰にも
〔R⊆RQ〕＝1
が何なのか分からないと思う．なぜならヒトクチに多値論理と言ってもいろいろあるし，その表記の仕方だって様々だからです．

(1) 二重カッコはおそらく「論理式の真偽値」を表す記号だろうと思われるが，ホントにそうなのかどうか．
(2) 「R」と「RQ」は一体何？　また，「⊆」なんてケッタイな記号，中学校でやる集合の話ぐらいにしか出てこない筈だが，いやまさかそんな…．ならば，「⊆」は何を意味する記号？
(3) どんな真偽値が許される多値論理を考えているのか不明．真偽値の集合は？
(4) その集合の要素のうちで，「Xが成り立つ」を意味する真偽値はあるか？もしあるのなら，それはどの要素？

　以上を補足しなくてはキチンとした回答は得られず，そして，もし補足できたなら，その時には回答は必要なくなる（ご自分でワカル）だろうと思います．

お礼

アドバイス、ありがとうございます。
多値論理は、よく知らないので、
こういう書き方は、一般的と思い込んでいました。
すみません。

〔Ｒ⊆ＲQ〕＝1　は、小澤正直博士の論文：
http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2008aki/2008_aki_ozawa.pdf
の、「14　量子集合論」に出てきます。
よく読み直すと、ちゃんと定義が書いてあり、
なんとなくは、わかりました。

この論文によると、
集合a,b間の関係　a∈b,α~∈b,a＝b,a≠bはそれぞれ
[a∈b]＝1,[a~∈b]＝0,[a＝b]＝1,[a＝b]＝0
と同等。　（集合間の関係は、普通、∈じゃなく⊂で表すと思いますが）
とあります。
Ｒは、実数の全体の集合で、ＲQ　は、、、

Q を完備オーソモジュラー束とし、
V (Q) を,Q 値モデル（Q値集合論）,
V (Q) の元を　Q 値論理における集合（Q 値集合）とすると、
V (Q) の自然数の全体はω に対応し，V (Q) の有理数の全体は　有理数Q に対応する．
V (Q) の実数の全体ＲQ は，V (Q) で定義される有理数のデデキント切断の全体として定義される．
すると，[R ⊆ ＲQ] = 1 となる．