回転する長方形に内接する長方形の最大サイズ

質問

［問題］
144×96mmの長方形が30度回転しています。
１）　これに内接する、比率4：3の長方形の最大サイズを求めなさい。
２）　同じく、内接する長方形（こちらは比率は問わない）の最大サイズを求めなさい。

仕事でこんな数値が必要となり、整理して問題形式にしてみました。
しょっぱなから見当がつかない状況です。

当方文系ですが、高校の時は数学が一番好きでした（ン十年前です <--参考）。
お知恵を貸していただけたら幸いです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

1)
内接長方形の２辺と対角線の比は「4:3:5」なので
4:3の辺比の最大サイズの内接長方形の２辺と対角線の長さをを順に
Xcm,Y=(3/4)Xcm,(5/4)XcmとXだけで表せます。
Xと外の大きい長方形の96(mm)の辺の関係は次の関係があります。
ここで、30°は単位を弧度法のラジアン単位に変換して(π/6)(rad)とします。
　(5/4)Xsin((π/6)+arctan(3/4))=96(mm)
　X=96*(4/5)/sin((π/6)+arctan(3/4))
　 =768/(4+3√3)≒83.51(mm)
　Y=(3/4)X=576/(4+3√3)≒62.63(mm)

2)
>最大サイズを求めなさい。
最大サイズとは何でしょうか?
・面積「XY」が最大ですか？
・周囲の長さ「2(X+Y)」が最大ですか？

内接長方形の4つの頂点がすべて、大きい方の長方形に接していると仮定するとして
面積S=XYが最大となる場合のXYを求めるのであれば

　Xsin(π/6)+Ysin(π/2-π/6)=96
つまり
　X/2+(√3)Y/2=96(X>0,Y>0）…(A)
の条件のもとで
　S=XY　…(B)
を最大化すればいいですね。
(A)から
　X=192-(√3)Y …（C)
X≧0,Y≧0より
　0≦Y≦192/√3(≒110.85)　…(D)
(B)に（C)を代入して
　S=Y(192-√3Y)=-√3(Y^2-(192/√3)Y)
=-√3{(Y-96/√3)^2-96^2/3}
=-√3(Y-32√3)^2+3072√3
Y=32√3（≒55.43）(cm)の時
　S(最大)=3072√3(≒5320.86(mm^2))
この時のXは（C)より　X=96(mm)
と内接長方形の横X=96(mm),縦Y=32√3≒55.43(mm)が得られます。

お礼

さっそくのご回答、驚くとともに感謝申し上げます。

arctanというのは逆三角関数なんですね。はじめて聞きました。
そのほかの部分とともに理解できるよう、これからがんばってみます。

また不明な点が出て来たら質問するかも知れません。
その時はまたどうぞよろしくお願いいたします。