数学 絶対値つき関数

質問

数学に関しての質問は不慣れで誤字等あるかもしれませんが
よろしくお願いします。

関数　f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-a|
はa=3のとき最小値（(1)）をとり、a=（(2)）≠3のときも同じ最小値をとる。
(1)・(2)に入る数字を答えよ。

という問題です。

私はa=3をとりあえず入れてみて　-2≦x≦3　までのxの値を
1個ずつ入れてグラフを書きました。
x<-2　と　3<x　の部分は発散すると推測したのでとりあえず(1)番は　5　とでました。
解法としては外道といったところでしょうか。
問題の本質を理解していないやり方だと自分でも自覚しております。

そして(2)番、わかりません。解答みましたが答えは　-4　です。
解説もいまいち納得いきません。

もしよろしかったらアドバイスやご指摘等よろしくお願いします。
雑文失礼いたしました。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

g(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|(a<=b<=c)としたとき
x<aのとき…=-3x+(a+b+c)
a<=x<bのとき…=-x+(-a+b+c)
b<=x<cのとき…=x+(-a-b+c)
c<=xのとき…=3x+(-a-b-c)
とかけるので最小値はx=bのときのg(b)=(b-a)+(c-b)=c-aとなります
（その前後は貴方の言う発散（x<bで単調減少、x>=bで単調増加）ですから）
言い換えると、a,b,cの内の真中の大きさの値で最小値をとります
従ってこの問題{f(x)}の場合
a<-2のとき1-a…(1),-2<=a<1のとき3…(2),1<=aのときa+2…(3)が最小値となり
最小値5となるとき
(2)の場合は3!=5からありえなく、(3)の場合はa=3の場合ですから、後は(1)の場合の1-a=5になります

お礼

わかりやすすぎて理解せざるをえませんでした。