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体積の問題です。
画像の三角形ＡＢＣをＡＢを軸として回転してできる回転体の体積がいくつになるか知りたいです。 解説では、1：2：√3と底辺が√3、高さが3という2つの円錐の体積を計算して求めてるのですが… 1：2：√3の「1」の部分（もしくは√3）の出し方が分からず、手が止まってしまいました。 よろしくお願いします
- auel_neider
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まず、この三角形の特徴を捕まえましょう。 辺ABの長さは、三平方の定理から4であるとわかるので、三角形ABCは、辺ACを底辺としたとき 底辺２：斜辺４：高さ２√３＝１：２：√３ であることがわかります。 では、点Cから辺ABに垂線を下ろしてみましょう。 ここを点Dとします。 三角形ACDを考えると、角Dは90°、角Aは元の三角形と同じなので、角Cは元の三角形の角Bと同じになり相似であることがわかります。 つまり、辺の長さの比は１：２：√３ですね。 三角形ACDにおいて、辺ACは斜辺になり長さが2なので、底辺ADは長さが1、高さCDは長さが√３であるとわかります。 同様に三角形BCDについて考えると、各辺の長さがわかります。 あとは、それぞれの円錐の体積を求め、足すだけです。
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- gohtraw
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１：２：√３というのは三角形ＣＡＢの三辺の長さの比が１：２：√３だといっているのでしょう。三平方の定理を使えば ＡＢ＾２＝ＡＣ＾２＋ＣＢ＾２ ＝４＋１２ なのでＡＢ＝４となりますね。ここでＣからＡＢに垂線を下ろしてＡＢとの交点をＤとすると、△ＡＢＣと△ＡＣＤ、△ＣＢＤは相似になるので ＡＤ＝１、ＤＢ＝３となります。 これらより、求める体積は、 ・△ＡＤＣをＡＤの回りに回転させてできる円錐 ・△ＢＣＤをＤＢの回りに回転させてできる円錐 の体積の和になります。ＣＤの長さは√３なので、 前者の体積：√３＾２π＊１／３ 後者の体積：√３＾２π＊３／３ ですね。
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ご説明ありがとうございました！
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