エネルギーと運動量について

質問

この２つが違う量というのは何となく分かっているのですが
毎回毎回、問題を解く時に衝突や分裂は運動量保存則でという風にパターン化してます。

そこで疑問を持ったのですが
衝突などの運動では衝突した際に物体の変形だったりでエネルギーが失われますよね(別のエネルギーになる？)
それならばその衝突の際に生じるエネルギーなどが全部与えられていて衝突後の速度vを求めるなどの問題があった場合、エネルギー保存則を使えば運動量保存則で求めた答えと同じになるのでしょうか？

回答No.3

Quarks

大きさの有る物体も、質点の集合体と考えて良いですから、結局のところは、２つの質点の衝突を考えよ、ということになってしまいます。

衝突前に、質点Ａは、ｘ軸方向に運動エネルギーＫ１ｘ，ｙ軸方向にＫ１ｙを持っていて，
Ｂは、Ｋ２ｘ，Ｋ２ｙを持っていたとしましょう。

衝突に際して、Ａはｘ軸方向にＷ１ｘ、ｙ軸方向にＷ１ｙの仕事をされ、
ＢはＷ２ｘ、Ｗ２ｙの仕事をされたとします。

衝突後のＡ，Ｂの運動エネルギーは
Ａ：ｘ軸方向　Ｋ１’ｘ＝Ｋ１ｘ＋Ｗ１ｘ
ｙ軸方向　Ｋ１’ｙ＝Ｋ１ｙ＋Ｗ１ｙ
Ｂ：ｘ軸方向　Ｋ２’ｘ＝Ｋ２ｘ＋Ｗ２ｘ
ｙ軸方向　Ｋ２’ｙ＝Ｋ２ｙ＋Ｗ２ｙ

このように、衝突に際して受ける仕事が、精密にわかっている（ｘ，ｙ成分がはっきりしている）ならば、エネルギー保存則だけでも、問題は解けるということです。
しかし、単に仕事がＷ１、Ｗ２ということしかわからない（成分毎の値が不明瞭）だったら、Ｋ１’、Ｋ２’は決定できないことも明らかです。
では、運動量の保存則の方が優れているかと言えば、そう断定することもできません。なぜなら、運動量自体がベクトルですから、暗黙のうちに角度情報（成分情報）がその中に含まれているからです。これは、エネルギーで解くときに、受けた仕事が成分毎に正確にわかっていることと同じことを意味しているからです。このように、"すべての情報が与えられているならば"、どちらの解法でもかまわないのです。

ご質問に忠実に答えると上に述べたようになります。しかし、言外に込められている疑問は
"エネルギー保存則だけを使って、衝突問題を解くことはできるのか？"
ということでしょうか。

少し回り道をして回答します。
物体の運動は、さかのぼれば、運動の法則に沿って解くことに帰着します※。
運動量とは、運動方程式を、時間に沿って利用した（時間情報を使う）ときに出てくる概念です。もっと詳しく書くと、力積を考えて解くわけです。
作用反作用の法則が成り立つこと、および衝突している（接触している）時間は、２物体に共通であることを考えると、系全体では力積は０です（これが、運動量保存則の真の意味です）。時間に沿って物体の運動を考える（運動量や力積で考える）と、両者はきわめて対照的な運動をしているので、見通しが良くなり、結果的に解きやすいといえます。
一方、運動方程式を、衝突時にどのくらい変位したかという視点から使うのが、仕事（エネルギー）概念です。衝突の場合、２物体が剛体でないならば、各物体の変位（変形度合いと言っても良いでしょう）は対称的ではありません。バットとボールのように、固い物体の変位は小さいでしょうが、柔らかい物体の変位は大きいのです。その変位量は前もってわかるものではありません。各物体が受ける仕事量は、きわめて分かり難い（測定し難いし、非対称です）のです。つまり仕事に関する情報を精確に得ることは極めて困難なので、一般的な衝突では，仕事（エネルギー）から解く方法は、現実的ではないと言えるでしょう。唯一、完全弾性衝突の場合に限って、エネルギー保存則も成立し、運動量保存則と勘案することで、正確な運動解析ができることになります（この場合でも、変位の方向を前もって知ることは難しいので、エネルギー保存則だけでは解けないことが多いことでしょう）。

※すべての事象を運動方程式に還元して解くことは、とても手間がかかって、繁雑を極めるのがほとんどです。そこで、運動方程式から帰結されているいくつかの事項を、原理・法則のような形で導いておいて、それらを解法に利用しているのが実情です。

回答No.2

yokkun831

他の回答にもあるように，衝突による変形・エネルギー散逸はミクロ現象に直結して複雑なので，それがあらかじめ与えられるという問題はほとんどみかけませんが，おっしゃるとおりにそれが与えられれば，もちろんエネルギー保存則が使えることになり，それを用いた結果は運動量保存から得られる結果に一致しなければなりません。

非弾性衝突のほどよいモデルとして，「はね返り係数」を導入した問題がありますね？　これは，ある意味で衝突によるエネルギー散逸を衝突前後の相対速さの比として与えた，ということもできるでしょう。

弾性衝突の問題では，
（１）運動量保存
（２）力学的エネルギー保存
を連立させることによって，目的に達する場合が多いのですが，１次元衝突のような簡単な場合には（２）の代わりにはね返り係数e=1を用いると，計算が楽になります。はね返り係数の定義式はエネルギー保存の代用といえるわけです。

回答No.1

makot0

大抵の衝突の問題は、物体が変形しない固体として、
問題が出されるので、混乱が大きくなるのかもしれません。

物体の変形というのは、一時的にしろ物体が液体に近づく状態です。
液体に近づいたものをさらに拡大して見る場合、個々の分子が振動しています。
これを、一般的には熱という表現で我々の感覚は捉えます。

分子レベルで見れば、熱も運動エネルギーの一種です。

最後の三行は、物質が変形せず固体のまま物が押し出される場合かと思います。
摩擦も空気抵抗も変形もない場合、すべては一方向の速度となります。