詳しく教えていただけないでしょうか？

質問

積分区間【０→π/2】∫sin^3θcos2θdθ

解き方がいまいち分かりません。お願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

反則技を教えます。
(Sin[x])^3Cos[2x]
を参考URLの積分記号の中に放り込みます。
そうすると不定積分が計算されます。
その式をF(x)とおけば、求める答えは
F(π/2)-F(0)です。
なお結果は-(1/2-1/8+1/40)=-2/5ですか。

真面目に手計算でやるアイデアは、
とりあえず3倍角の公式を使うことです。
Sin[3x]=3Sin[x]-4Sin[x]^3
です。そこで元の披積分函数は
(3Sin[x]-Sin[3x])/4Cos[2x]
となります。さらに積和公式より
Sin[x]Cos[2x]=(Sin[3x]+Sin[-x])/2
Sin[3x]Cos[2x]=(Sin[5x]+Sin[x])/2
となるので、結局披積分函数は
3/8(Sin[3x]-Sin[x])-1/8(Sin[5x]+Sin[x])
=-Sin[5x]/8+3Sin[3x]/8-Sin[x]/2
あとはこれを積分するだけですが、原始函数は
Cos[5x]/40-Cos[3x]/8+Cos[x]/2
となります。

あー、結局最後までやってしまいました。

とりあえず、三倍角、和積公式は必須ですよ～
お忘れでしたら、
三倍角↓
http://www.geocities.jp/tadaomanyobako/oyakudati/3baikaku.html
和積公式↓
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/sekiwa.html

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi