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詳しく教えていただけないでしょうか?

積分区間【0→π/2】∫sin^3θcos2θdθ 解き方がいまいち分かりません。お願いします。

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  • adinat
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回答No.1

反則技を教えます。 (Sin[x])^3Cos[2x] を参考URLの積分記号の中に放り込みます。 そうすると不定積分が計算されます。 その式をF(x)とおけば、求める答えは F(π/2)-F(0)です。 なお結果は-(1/2-1/8+1/40)=-2/5ですか。 真面目に手計算でやるアイデアは、 とりあえず3倍角の公式を使うことです。 Sin[3x]=3Sin[x]-4Sin[x]^3 です。そこで元の披積分函数は (3Sin[x]-Sin[3x])/4Cos[2x] となります。さらに積和公式より Sin[x]Cos[2x]=(Sin[3x]+Sin[-x])/2 Sin[3x]Cos[2x]=(Sin[5x]+Sin[x])/2 となるので、結局披積分函数は 3/8(Sin[3x]-Sin[x])-1/8(Sin[5x]+Sin[x]) =-Sin[5x]/8+3Sin[3x]/8-Sin[x]/2 あとはこれを積分するだけですが、原始函数は Cos[5x]/40-Cos[3x]/8+Cos[x]/2 となります。 あー、結局最後までやってしまいました。 とりあえず、三倍角、和積公式は必須ですよ~ お忘れでしたら、 三倍角↓ http://www.geocities.jp/tadaomanyobako/oyakudati/3baikaku.html 和積公式↓ http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/sekiwa.html

参考URL:
http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi
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