高１数学の問題です

質問

数学の問題です

x＝aの二乗＋１（aは０ではない）のとき√x＋２a＋√x－２a/√x＋２a－√x－２aの値は。
このルートのは、すべてxから２aにかけてのびています

解説の√x＋２a＋√x－２a/√x＋２a－√x－２aの計算のしかたが、

この画像なのですが、〔１〕とかいくまえにこの計算の仕方が全く分かりません

計算の仕方を解説していただけるとうれしいです

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

√と入力するのが面倒なので、√Aのことをr(A)と書くことにします。

{r(x+2a)+r(x-2a)}/{r(x+2a)-r(x-2a)}

最初の計算では、分母の有利化をしています。
分母の有利化、は習ってますよね？　理解してない？

(a+b)(a-b)=a^2-b^2　は習ってますよね？
{r(a)+r(b)}{r(a)-r(b)}={r(a)}^2-{r(b)}^2=a-b

この問題の場合は、分母が{r(x+2a)-r(x-2a)}なので、分母を有利化するために、分母に{r(x+2a)+r(x-2a)}を掛けます。
分母に掛けるだけだと、値が変わってしまうので、値が変わらないように、分子にも同じ値を掛けます。
分母と分子が同じ分数の値は1なので、1を掛けても式の値は変わりません。

={r(x+2a)+r(x-2a)}{r(x+2a)+r(x-2a)}/{r(x+2a)-r(x-2a)}{r(x+2a)+r(x-2a)}
={r(x+2a)+r(x-2a)}^2/{(x+2a)-(x-2a)}

次の計算では、分子と分母それぞれで計算をしているだけです。

=[{r(x+2a)}^2+r(x+2a)r(x-2a)+{r(x-2a)^2}]/(4a)
=[(x+2a)+2r{(x+2a)(x-2a)}+(x-2a)]/(4a)
=[x+2a+2r{(x)^2-(2a)^2}+x-2a]/(4a)
={2x+2r(x^2-4a^2)}/(4a)
={x+r(x^2-4a^2)}/(2a)

次の計算では、xにa^2+1を代入しています。

=[a^2+1+r{(a^2+1)^2-4a^2}]/(2a)

次の計算では、分子と分母それぞれで計算をしているだけです。

=[a^2+1+r{(a^2)^2+2a^2+1-4a^2}]/(2a)
=[a^2+1+r{(a^2)^2-2a^2+1}]/(2a)
=[a^2+1+r{(a^2-1)^2}]/(2a)

次の計算では、r{(a^2-1)^2}の√を外しています。

=(a^2+1+|a^2-1|)/(2a)

回答No.2

fjnobu

m=√（x+2a),n=√（x-2a) とおくと(m+n)/(m-n) となり分子・分母に(m+n)をかけると
（m^2-2mn+n^2)/(m^2-n^2) となります。
元のxとaを入れるとわかると思います。
これを有利化と云います。

回答No.1

Tacosan

画像を見てください. あなたはこの画像を「十分見やすい」と思いますか?

さておき, 有理化してるだけだね.