因数分解せよ。と言われても・・・

質問

ある問題集に次のような問題がありました。。

(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24 を因数分解せよ。

実は解答は次のようになることがわかっています。

与式=(x^2-x-2)(x^2-x-12)+24
=(x^2-x)^2-14(x^2-x)+48
=(x^2-x-6)(x^2-x-8)
=(x-3)(x+2)(x^2-x-8)

[『^2』は『～の2乗』を示します。]

よく考えればこのようになるのは百の承知！！
しかし2ビットの頭しかない私ではちょっと難しいのです。。
そこで、遠回りで構わないのでこの因数分解の簡単な例が知りたいのですが、、
誰か教えていただけませんか？？

よろしくお願いいたしーます！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

解答は要領よい解答の１つに過ぎないですね。

別解としては
式の前半の
(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)
が「-24」になるxを見つければ良いですから
マイナスになる整数の組み合わせ(マイナス項は奇数)
-,+,+,+の組み合わせ：4と2の間のx=3とすると
　　(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)=(-1)*1*4*6=-24　OK。元の式は因数(x-3)を持つ。
-,-,-,+の組み合わせ：-1と-3の間のx=-2とすると
　　(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)=(-6)*(-4)*(-1)*1=-24　OK。元の式は因数(x+2)を持つ。

以上から元の式は因数(x-3)(x+2)を持つ。
したがって、x^4の係数=1,定数項=48を考慮すれば
(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24=(x-3)(x+2)(x^2+ax-8)
とおける。
あとはこの式が恒等式となるようなaを求めれば良いでしょう。→a=-1
となって因数分解完成！

お礼

こ、これは！！
すごい、すごすぐる・・・！！

No.2さんと同じく簡単に考えるだけでこんなにできるなんて思いもしなかったです。。
とても分かりやすく正しく単純明快でした。。
本当にありがとうございます。。

回答No.2

yukaru

だいたいこの形の場合ｘは０、１、２のどれかを含むはず
（時間短縮のためプラスとマイナスは同時に計算してください）

(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24

に０、１、２と代入していくと２と３が含まれるのがわかるでしょう
（見当は暗算レベルでつけときましょう）

あとは符号を合わせて割るだけ

これでできそうないときは後回しで

お礼

とても簡単！！
読んですぐ分かりました。。
『何がxに入るのか』がコツだとは、、また一つ知恵がつきました。
本当にありがとうございます！

回答No.1

okestudio

(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24をよくみると、
(x-4)(x+3)=(x^2-x)-12
(x-2)(x+1)=(x^2-x)-2と同じ部分ができて、x^2-x=Xとおきなおせば

与式＝(X-12)(X-2)+24となって、全部完全にバラすより計算しやすいということだと思います。
とはいっても例になってないですが。

お礼

そっか！！全然気づきませんでした。。
確かにこれなら自分でもできそうです。難しい思っていたら簡単だったのですね、、
ありがとうございました！