力学の問題

質問

IIIの解法を教えてください。
ttp://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/entrance/2009_hen/3hen.pdf

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

III

問1
任意の時刻におけるm，Mそれぞれの速度をベクトルv，Vで表すことにする．

運動量保存則より

m v + M V = m(v0, 0) + M(0, 0) = (m v0, 0).

∴重心速度ベクトル
Vg = (m v + MV)/(M + m) = (m v0/(M + m), 0).

質量中心はx軸正の向きに速度 m v0/(M + m) の等速直線運動を行う．

問2
運動量保存則より

m(0, v') + M(Vx, Vy) = m(v0, 0) + M(0, 0).

すなわち，
M Vx = m v0,
m v' + M Vy = 0.

∴Vx = m v0/M, Vy = -m v'/M.

問3
力学的エネルギー保存則より
m v0^2 /2 = m v'^2 / 2 + M(Vx^2 + Vy^2)/2
= m v'^2 /2 + m^2 v0^2 /(2M) + m^2 v'^2 /(2M)
∴v' = √{(M - m)/(M + m)} v0.

問4
相対位置ベクトルはmの位置ベクトルからMの位置ベクトルを引き算したもの．
換算質量は
μ = M m/(M + m).

で，相対角運動量は保存するから，どの時刻で計算しても同じ値になるべきなのであって，最初のmの位置を(x, b)として，最初の状態で計算すると，
L = (x, b)×μ(v0, 0) = -μ b v0 = -M m b v0/(M + m).

問5
最近接距離をrとする．

最近接状態では，相対速度はMとmとを結ぶ方向の成分を持たず，相対速度はその法線成分v⊥しか持たない．

相対角運動量の保存より
-μ b v0 = -r μv⊥.
∴v⊥ = b v0/r. …(1)

重心系における力学的エネルギー保存則より
μ v0^2 /2 = μ v⊥^2 /2 + k/r.

これに(1)を代入すると，
μ v0^2 /2 = μ (b v0/r)^2 /2 + k/r
μ v0^2 r^2 - 2k r - μ b^2 v0^2 = 0.

∴r = {k + √(k^2 + μ^2 b^2 v0^4)} /(μ v0^2) (≧ 0).

μを消去して
r = {(M + m)k + √((M + m)^2 k^2 + M^2 m^2 b^2 v0^4)} /(M m v0^2).

# 多分考え方は合ってると思うのですが，計算は間違ってるかもしれないので，検算よろしくお願いします．

お礼

全て同じ答えになりました。
丁寧なご回答ありがとうございました。