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物理問題解説
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(19)答に近い方から逆にたどって考えていくことにします。 （ア）釘に掛かる直前の状態を考えます。 「糸が小球を引く力」は、糸の"張力"と呼ばれます。 おもりにはこのほかに、重力も働いています。糸の張力をＳ、重力をＷ（質量ｍ，重力加速度ｇのとき、重力Ｗ＝ｍｇです）としてみます。小球にはＳとＷとの合力が働いて、この合力こそが小球の運動を支配しているのです。Ｓは上向き、Ｗは下向きですから、合力は Ｓ－Ｗの大きさで、上向きとなります。（なぜ、上向きと考えるかは、もう少し読むとわかります） この合力は、どんな力だろうか？ と考えるのです。おもりは、Ｏ点を中心とした"円運動"をしていることに気付かなければなりません。物体が円運動するとき、円運動の中心方向に向かって向心力が働いていることがわかっています。まさに、円の中心に向かう力なのです。今の場合、この向心力こそが、Ｓ－Ｗの合力だということがわかります。なぜ合力が上向きだと考えたかわかるでしょう？下向きだったら、向心力が生じないからおかしいわけです。 さて、質量ｍの物体が半径ｒの円周を速さｖで進むとき、向心力の大きさは ｍｖ＾２／ｒ となることがわかっています。いまは半径がＬですから Ｓ－Ｗ ＝Ｓ－ｍｇ=ｍｖ＾２／Ｌ … 式（ａ） ですね。Ｓを求めるには、ｖがわかれば良いのです。 ではｖはどうやって求めるのか？ 小球がＡから動き始めてＢに達する間、力学的エネルギーが保存されている※ことを利用しましょう。ちょっと唐突でしたか？ 振り子の問題の場合は力学的エネルギー保存則を使うのが手っ取り早いのですよ。覚えておくと良いでしょう。 Ａを出発するとき、物体の速度はまだ０ですから運動エネルギーＫ(=(1/2)ｍｖ＾２）も０です。重力による位置エネルギーＵは、Ｂを基準点として、Ｕ＝ｍｇＬです。よって力学的エネルギーＥは Ｅ＝０＋ｍｇＬ＝ｍｇＬ Ｂに達したとき、速さがｖになっていたとすると Ｋ’=（１／２）ｍｖ＾２ Ｕ’＝０ ですから Ｅ’＝Ｋ’＋Ｕ’＝（１／２）ｍｖ＾２ 力学的エネルギー保存の法則から ｍｇＬ＝（１／２）ｍｖ＾２ ∴ｖ＾２＝２ｇＬ … 式（ｂ） 無事、速さが求まりました。 （ａ），（ｂ）から Ｓ－ｍｇ=ｍｖ＾２／Ｌ＝２ｍｇ Ｓ＝… （イ）釘に引っかかった直後、速さは変わらず ｖ＾２＝２ｇＬ 向心力は（中心がＣですから、半径がＬ／２になることを忘れないで） ｍｖ＾２・（２／Ｌ）ですから Ｓ’－ｍｇ＝２・２ｍｇ Ｓ’＝… ※ついでだから、力学的エネルギー保存則を使えるのかどうかも確認しておきましょう。 本問では、物体に働いている力は、重力と張力です。重力は、保存力と呼ばれ、重力がどんなに仕事をしても、力学的エネルギーは保存されることが保証されています。問題は張力です。この問題の場合、張力は常に物体の進行方向に対して直交する方向になっています。つまり、張力は仕事をしないのです。仕事をしない力はいくつ働いていても力学的エネルギーは保存されることがわかっています。以上のことから、本問では、力学的エネルギー保存の法則が成立します。
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- kinngan-shufu
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まず、等速円運動の公式より、 力Ｆ＝mrω＾2 ｖ=ｒω なので、 Ｆ＝ｍｖ＾2/ｒ (1) となります。 エネルギー保存則より、 mgl=1/2mv^2 v^=2gl これを(1)に代入して、 F=2mgl/l=2mg が釘に触れる直前に働く力です。 釘に触れた後は、 F=m(2gl)/r=2mgl/r となります。 釘に触れた後、高さが ｌ-(ｒ+lcosθ） 分、低くなるので、 位置エネルギーの減少分は、 mg(l-r-lcosθ） これが運動エネルギーに変換されるので、 1/2mv^2=mg(l-r-lcosθ） ｖ＾2＝2g(l-r-lcosθ） これを(1)に代入して、 F=m(2g(l-r-lcosθ））/r となります。
お礼
式の進め方が詳しくゆっくりで、さらに改行で目もチカチカせず、より分かりやすかったです。 ありがとうございました！
- gohtraw
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球が点ＡにあるときとＢにあるときの高さの差はｌ（エル）です。つまりＡにある状態はＢにある状態よりも位置エネルギーがｍｇｌだけ大きいということです。球がＢに来ると前記の位置エネルギーは運動エネルギーに変換されます。運動エネルギーはｍｖ＾２／２で表されるので（ｖ：球の線速度） ｍｇｌ＝ｍｖ＾２／２ とおくと ｖ＝√（２ｇｌ） となります。球が糸を引く力は遠心力（質量＊線速度の二乗／回転半径）に等しいので （ａ）糸が釘に接する直前 ２ｍｇｌ／ｌ＝２ｍｇ （ｂ）糸が釘に接した直後 ２ｍｇｌ／ｒ 従ってその変化は ２ｍｇ（ｌ／ｒ－１） 点Ａと点Ｄの高低差はｌ－ｒ－ｒｃｏｓΘなので、上記同様に位置エネルギーの変化は ｍｇ（ｌ－ｒ－ｒｃｏｓΘ） であり、これが運動エネルギーに変換されるので ｍｇ（ｌ－ｒ－ｒｃｏｓΘ）＝ｍｖ＾２／２ ｖ＾２＝２ｇ（ｌ－ｒ－ｒｃｏｓΘ） このとき球が糸を引く力はやはり遠心力に等しいので ２ｍｇ（ｌ－ｒ－ｒｃｏｓΘ）／ｒ
お礼
式を作るときの何故こうなるかという説明が分かりやすかったです。 ありがとうございました！
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- ベストアンサー
- 物理学
お礼
詳しい解説ありがとうございます！ 逆から考えるんですね。 いつもつい始めのほうから考えて詰まってしまうので新鮮というかむしろその方法を聞きまして何故毎回始めからしか考えられないのかと自分に突っ込みたいです…。 とても分かりやすかったです、ありがとうございました！