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対称式がわからない
高校の宿題で a=1-√3/1+√3 b=1+√3/1√3 のとき、次の値を求めよ a⁵+a³b²+a²b³+b⁵ (a5乗+a3乗b2乗+a2乗b3乗+b5乗) という問題が出たのですがわかりません どなたか途中式を含めて回答お願いします。 ちなみに / は分数という意味で、 1/3だと 三分の一 です。
- wasshoidaze
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この手の問題は、まず、a+bとabを作って、値を求めたい式をa+bとabで 表すようにします。 a=(1-√3)/(1+√3) =(1-√3)^2/(1-3) ←分母の有理化 =-2+√3 b=(1+√3)/(1-√3) =(1+√3)^2/(1-3) ←分母の有理化 =-2-√3 よって、a+b=-4、ab=1 a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5 =a^3(a^2+b^2)+b^3(a^2+b^2) =(a^3+b^3)(a^2+b^2) ここで、 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab =16-2=14 a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2 =(a+b)^3-3ab(a+b) =-64-3・1・(-4) =-52 よって、与式=(-52)・14=-728
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- nattocurry
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あぁ・・・因数分解できた・・・ ab=1 a+b={(1-√3)(1-√3)+(1+√3)(1+√3)}/{(1+√3)(1-√3)}={(4-2√3)+(4+2√3)}/(-2)=-4 aa+bb=aa+2ab+bb-2ab=(a+b)(a+b)-2ab=(-4)×(-4)-2×1=16-2=14 aaaaa+aaabb+aabbb+bbbbb =aaaaa+aabbb+aaabb+bbbbb =aa(aaa+bbb)+bb(aaa+bbb) =(aa+bb)(aaa+bbb) =(aa+bb){(a+b)(aa-ab+bb)} =(aa+bb){(a+b)(aa+bb-ab)} =14×{-4×(14-1)} =14×(-52) =-728
お礼
回答ありがとうございます。 nattocurryさんの解き方は 他の方と少し違うようですので、 こちらも参考にさせていただきます。
- nattocurry
- ベストアンサー率31% (587/1853)
どこまでが分子でどこまでが分母なのかが判るように、()で括りましょう。 あと、数学の問題は、誤字脱字の内容にしましょう。1文字違うだけで答えが変わります。 a=(1-√3)/(1+√3)、b=(1+√3)/(1-√3) で良いですか? ab=1 a+b={(1-√3)(1-√3)+(1+√3)(1+√3)}/{(1+√3)(1-√3)}={(4-2√3)+(4+2√3)}/(-2)=-4 aa+bb=aa+2ab+bb-2ab=(a+b)(a+b)-2ab=(-4)×(-4)-2×1=16-2=14 aの5乗を、aaaaaと書くことにします。 aaaaa+aaabb+aabbb+bbbbb =aaaaa+bbbbb+aaabb+aabbb =aaaaa+bbbbb+aabb(a+b) =aaaaa+bbbbb+abab(a+b) =aaaaa+bbbbb+1×1×(-4) =aaaaa+bbbbb-4 =(a+b)(aaaa-aaab+aabb-abbb+bbbb)-4 =(a+b)(aaaa+bbbb-ab(aa+bb)+aabb)-4 =-4(aaaa+bbbb-1×14+1×1)-4 =-4(aaaa+bbbb-13)-4 =-4((aa+bb)(aa+bb)-2aabb-13)-4 =-4(14×14-2×1×1-13)-4 =-4(196-2-13)-4 =-4×181-4 =-4×182 =-728
お礼
すいません 気をつけます。 こちらの回答も参考にさせていただきます 回答ありがとうございました。
- 3cmp66p2
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b=1+√3/1√3 の部分、もう一度問題文を確認してみていただけますか?
お礼
はい この部分は a=(1-√3)/(1+√3), b=(1+√3)/(1-√3) の間違えでした すいません。
- eeb33585
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a⁵+a³b²+a²b³+b⁵ は、因数分解して a^3(a^2+b^2)+b^3(a^2+b^2) =(a^3+b^3)(a^2+b^2) =((a+b)^3-3ab(a+b))((a+b)^2-2ab) ここまで変形したら a=1-√3/1+√3 b=1+√3/1√3 を代入して計算する ところで、これは a=(1-√3)/(1+√3), b=(1+√3)/(1-√3) の書き間違えでは?
お礼
回答ありがとうございます。 おかげでよく理解できました。 すいません 書き間違えました 今後気をつけます。 ありがとうございました。
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お礼
回答ありがとうございます。 とても詳しい回答でわかりやすかったです。 今後もこのことを頭に入れてやっていきます。