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微分の仕方が分かりません
すいません。次の微分がわかりません。 1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))=1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n)) どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が 1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか? 分かり易いご解説お願い致します。
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>どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が >1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか? (1/π)倍は除いた部分の計算だけ取り出すと y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)) =∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1) であるから y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2) =∑_{n=1}^∞ (1-x^2/n^2)'/(1-x^2/n^2) =∑_{n=1}^∞ (-2x/n^2)/(1-x^2/n^2) =∑_{n=1}^∞ (-2x)/(n^2-x^2) =∑_{n=1}^∞ (2x)/(x^2-n^2) =∑_{n=1}^∞ (2x)/((x+n)(x-n)) =∑_{n=1}^∞ ((1/(x+n))+(1/(x-n))) 後はnの範囲をΣ_{n∈Z}としたため(1/2)倍にしてるようです。
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恐れ入ります。 >>どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が >>1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか? > (1/π)倍は除いた部分の計算だけ取り出すと > y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)) > =∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1) すいません。ここの変形はどうしてできるのでしょうか? 突然,Σで出てきちゃってますが。 > であるから > y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2) これはln(1-x^2/n^2)が一様収束なのでd/dxをΣの内側に入れれるのですよね。 どうすればln(1-x^2/n^2)が一様収束と分かるのでしょうか? > =∑_{n=1}^∞ (1-x^2/n^2)'/(1-x^2/n^2) > =∑_{n=1}^∞ (-2x/n^2)/(1-x^2/n^2) > =∑_{n=1}^∞ (-2x)/(n^2-x^2) > =∑_{n=1}^∞ (2x)/(x^2-n^2) > =∑_{n=1}^∞ (2x)/((x+n)(x-n)) > =∑_{n=1}^∞ ((1/(x+n))+(1/(x-n))) > 後はnの範囲をΣ_{n∈Z}としたため(1/2)倍にしてるようです。 これらは納得です。
補足
>> y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)) >> =∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1) > すいません。ここの変形はどうしてできるのでしょうか? > 突然,Σで出てきちゃってますが。 あっ。これは真数の積は対数の和の公式ですね。 つまり,ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))=ln(lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2)) =lim_{k→∞}lnΠ_{n=1}^k (1-x^2/n^2) (∵lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2))は|x|/n<1で一様収束) =lim_{k→∞}Σ_{n=1}^k ln(1-x^2/n^2) =Σ_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) でいいのでしょうか? "lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2))は|x|/n<1で一様収束"である事はどうすれば示せますでしょうか? あと,|x|/n≧1の範囲ではどのように計算を進めてけばいいのでしょうか? >> であるから >> y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2) > これはln(1-x^2/n^2)が一様収束なのでd/dxをΣの内側に入れれるのですよね。 > どうすればln(1-x^2/n^2)が一様収束と分かるのでしょうか? もとい,∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)のCでの一様収束性を言わねばなりませんね。 lim_{k→∞}sup{|∑_{n=1}^k d/dx ln(1-x^2/n^2)-∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C}=0が言えればいいのですよね。 lim_{k→∞}sup{|∑_{n=1}^k d/dx ln(1-x^2/n^2)-∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C} =lim_{k→∞}sup{|∑_{n=k+1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C} =lim_{k→∞}sup{|∑_{n=k+1}^∞ -2x/n^2|;x∈C} =lim_{k→∞}sup{|-2x/(k+1)^2-2x/(k+2)^2-…|;x∈C} からどうすればいいのでしょうか?