結晶構造

質問

結晶の方向というものがよくわかりません。授業では、電子状態は結晶方向に依存するから重要だ、と聞きましたがうまくイメージできませんでした。また、固体物理の参考書でミラー指数なるものも目にしますが、これはどのような時に使われるのでしょうか？簡単に説明できる方がおりましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

＜結晶の方向について＞
結晶というのは例えば食塩なんかをルーペで眺める綺麗な立方体の形状がみられますが、これは塩を構成するNa原子（○）とCl原子（●）が交互に規則正しく並び、３次元的に立方体を形成しているからなのですね。まぁ下手かつ不十分な絵ですが下図で想像して下さい。
　　　　　　○
　　　　●　　　● （→一応立方体を想像して下さい）
　　　　｜　○　｜
　　　　｜　｜　｜
　　　　○　｜　○
　　　　　　●
ところで１本の串を用意し、この串で●ばかりを串刺にする方向や○ばかり、あるいは○●を串刺しにする方向がありますね。この串刺し方向を結晶の方向といいます。卑近な話、丁度焼鳥で”カワ”の味とカワにねぎが挟んである”ネギマ”の味が違うように、結晶もその方向によって物性が変わります。これが電子の状態は結晶方向に依存するというものの中身です。

＜ミラー指数＞
ブラッグの法則というのをご存知でしょうか。等間隔ｄを保って並んでいる平面に斜めから波長λを持った光が入射したとき ２ｄｓｉｎθ＝ｎλ （ｎ：整数）を満たす入射角θのとき光は反射するというものですね。例によって詳しい絵はご自分で描いてください。

　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　↑ｄ
　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　↑ｄ
　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
先ほど述べた串刺しの方向ですが、串を板に置き換えて結晶をいろいろな方向より切るとその切り口は面となりますね。この面の方向を指定するのにミラー指数が使われます。例えばa,b,cの3辺を持つ単位立方体が整然とx,y,z空間に配列された巨大な立体を考えます。この立方体を斜め方向から切り、x,y,z軸と交わるその切りが（2a,3b,2c）であったとしますと、それぞれの切り口の逆数は単位長さを省略して（1/2,1/3,1/2）となりますね。ミラー指数はこの逆数の比と同じ比を持つ最小の整数と定義されますので、今の場合ミラー指数は
　　　　　6×（1/2,1/3,1/2）＝（3,2,3）
ということになります。ところで切り口（4a,6b,4c）のミラー指数も同様に（3,2,3）となりますね。つまり、(3,2,3)という面は何層も考えられるわけです。
今、簡単のために１辺aの単純立方格子を考えてみます。するとミラー指数（h,k,l）の面間隔Ｄhklは
　　　　　Ｄhkl＝a/√(h^2+k^2+l^2)
で与えられます。今入射角θで入ってきたX線は次ぎの条件が満たされる時、ミラー指数(h,k,l)面で反射されますね。
ブラッグの法則・・・２Ｄhkl・ｓｉｎθ＝ｎλ
つまり、ミラー指数はX線結晶解析によく使われます。それ以外に、結晶の方向によって物性が異なる異方性を議論する場合などに頻繁にでてきます。

(P.S)
・ミラー指数の演習には下記ＵＲＬが最適。
http://www.gifu-nct.ac.jp/mecha/yamada/CAI/menu.html
・ここも覗かれては
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=651268
・参考ＵＲＬはしっかり勉強するのに最適なところです。

参考URL：

http://www.zaiko.kyushu-u.ac.jp/~watanabe/AtomStr1.html

お礼

なるほど！焼鳥ですか。よくわかりました。
＞ミラー指数
X線解析ですか。具体例がないとイメージし難くて。。。納得できました。参考URLはざっと覗いた程度ですが、詳しく書いてあるようなのでこれから勉強してみようと思います。
ありがとうございました！