図形の問題

質問

半径１cmの球があり、その半径が3cm/sの割合で増加する。
半径が4cmとなった瞬間の球の体積の時間変化率はいくらか？

解き方を教えてください。
答えは、　192πcm^3/s　です。

回答No.3

puusannya

半径が時間の関数で、その変化の割合が３なので
ｄｒ／ｄｔ＝３　である。
両辺をｔで積分すると、ｒ＝３ｔ＋ｃ　（ｃは積分定数）　となり
ｔ＝０のとき１ｃｍだったから　ｒ＝３×０＋ｃ　より　ｃ＝１
よって　ｒ＝３ｔ＋１
この半径が４になるのは　４＝３ｔ＋１　より　ｔ＝１　のときである。

球の体積は　Ｖ＝（４／３）πｒ＾３＝（４／３）π（３ｔ＋１）＾３
ｔで微分すると　Ｖ’＝（４／３）π・３（３ｔ＋１）＾２・３
　　　　　　　　　　＝１２π（３ｔ＋１）＾２

半径が４になるのはｔ＝１のときだからＶ’に代入すると
Ｖ’＝１２π・４＾２＝１２・１６π＝１９２π

よって　半径４ｃｍのときの体積の時間変化率は　１９２πｃｍ＾３／ｓ　である。