電磁気学の近似計算ができません・・・

質問

こんにちは。
春休み中に電磁気学を独学で勉強しようと思って勉強中です。
講談社の基礎物理学シリーズを読んでいます。
問題を解いていて、近似を用いる計算がでたのですが、解けません・・・
「h>>dのとしてdの最低次まで求めよ」とあるのですが、できません。
写真に添付した計算式の途中計算がわかりません。
答えの形にもっていくにはどうやって計算すればよいのでしょうか？
自分はh^2+r^2=R^2と置き換えたりhだけ()から出したりして最低次まで求めようとしたのですができません。
解き方を教えてください。おねがいします。
(もしこの本を持っている人がいたりしたらP174の問題です。)

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

どうやら、
　　h≫d の場合の　(h-d)/{(h-d)^2 + r^2} - h/(h^2 + r^2)
を勘定している模様。

　　F(h) = h/(h^2 + r^2)
を微分して、
　　F'(h) = {(h^2 + r^2) - 2h^2}/{h^2 + r^2}^2 = {(r^2 - h^2}/{h^2 + r^2}^2
　　δF(h) = δh*F'(h)
として、δh = -d のときの勘定をしているのでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど。
微分の形を意識して変形するんですね！
この解き方は思いつきませんでした。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#185706

Ａの第１項
= h(1 - d/h)/[{h(1 - d/h)}^2 + r^2]
≒ h(1 - d/h)/[h^2 + r^2 - 2 d h]
= h(1 - d/h)/[(h^2+r^2){1 - 2 d h/(h^2+r^2)]
= {h/(h^2+r^2)}(1 - d/h)/{1 - 2 d h/(h^2+r^2)}
≒ {h/(h^2+r^2)}(1 - d/h){1 + 2 d h/(h^2+r^2)}
≒ {h/(h^2+r^2)}{1 - d/h + 2 d h/(h^2+r^2)}。

よって
Ａ≒ {h/(h^2+r^2)}{1 - d/h + 2 d h/(h^2+r^2)} - h/(h^2+r^2)
　= {h/(h^2+r^2)}[1 - d/h + 2 d h/(h^2+r^2) - 1]
　= {h/(h^2+r^2)}[d/{h(h^2+r^2)}]{-(h^2+r^2) + 2 h^2}
　= (h^2-r^2)d/(h^2+r^2)^2。

お礼

回答ありがとうございました。

そのまま計算しきるやり方ですね。
わかりました。
なかなか自分ではここまで近似を使いこなせなくて・・・未熟者ですね。
丁寧な解答ありがとうございました。