物体と運動

質問

原点Ｏから水平距離l(エル)だけはなれた、点Ｂの真上の高さhoの位置に点Ａがある。
点Ａから物体を自由落下させると同時に、点Ｏから初速voの弾丸が、水平と角θをなす方向に発射された。
重力加速度の大きさをgとする。

１、弾丸が物体に必ず命中するためには、θ、l、hoの間にどのような関係があればよいか。

２、物体が点Ｂに落ちるまでに、弾丸が物体に命中するための条件を、vo、ho、l、gを用いて表せ。

１…tanθ=ho/l
２…vo>√{g(l^2+ho^2)}/2ho

やり方教えてください。

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

これは通称「モンキーハンティング」といわれる問題です。木の枝にさるがぶら下がっていて、そのサルを銃で狙って撃ち、サルは銃の発射と同時に枝から手を離して落下する。銃弾は当たるか、という問題です。

　結論は、「当たる」です。
　つまり、弾丸の初速度の向きを目標物に向けたまま発射すれば、弾丸は重力によって放物線を描き、発射点から最初の目標点を結ぶ直線からずれていきますが、そのずれは重力による落下なので、サルの自由落下する距離と同じになり、必ず当たります。
　詳しい計算は
http://www15.wind.ne.jp/~Glauben_leben/Buturi/Riki/Rikibase3.htm
の真ん中あたりに書いてあります。

　ということで、１　の答は、弾丸の初速度が水平となす角θが、原点Ｏから点Ａに向かう向きなので

＞１…tanθ=ho/l

となります。

２　は、物体が地上に落ちるまでに弾丸が水平距離で ｌ 以上進んでいる必要がある、ということから出てきます。

　弾丸の速度の水平成分は　ｖ0cosθ＝ｖ0・ｌ/√(ｌ^2 ＋ ｈ0^2)
　物体が地上に落下するまでの時間は 　ｔ＝√(２ｈ0/ｇ)　
　物体が地上に落下するときの弾丸の水平位置は　ｖ0cosθ× ｔ ＝ ｖ0・ｌ/√(ｌ^2 ＋ ｈ0^2) × √(２ｈ0/ｇ)　なので、これが ｌ より大きければいいことになります。

　 ｖ0・ｌ/√(ｌ^2 ＋ ｈ0^2) × √(２ｈ0/ｇ)　＞ ｌ

後はこれを整理しすればよさそうです。

＞　２…vo>√{g(l^2+ho^2)}/2ho

は、　vo>√{g(l^2+ho^2)/2ho}　かな？

お礼

ありがとうございます。