最小二乗法による残差の和について

質問

質問させていただきます。
最小二乗法による残差の和が０になることが保障されているのは以下のどれでしょうか？
１、Y=βX＋ε
２、Y=α＋βX＋ε
３、Y＝αX＋βZ＋γW＋ε
４、Y＝α＋βX＋γZ＋δW＋ε
ただし、X,Y,Zは説明変数である。また、εは誤差項を表す
よろしくお願い致します。

回答No.1

ramayana

出題者の意図がいまいち分かりません。

（１）２や４のように定数項が明示的に使われている場合
（２）明示的に定数項が使われていない１や３のようなものでも、説明変数と定数との間に一次従属の関係がある場合

は、計測に用いたデータ全体での残差の和が、結果的に0になるように、パラメータα～δが推計されます。

しかし、確率モデルを推計しているに過ぎない式に対して、上記のような状況を「残差の和が０になることが保障されている」などと表現していいのかどうか、自信がありません。