一階微分方程式

質問

y=f(x) 下記の微分方程式は解けますか？（プログラム以外）

dy/dx=a*y^4+b*y^3+c*y^2+d*y+e（a,b,c,d,e常数）

もし出来れば、そのプロセスを教えていただけませんか

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

T^4＋3.2*10^8 *T－1.2*10^12＝0 の解を Web のプログラムで求めてみました．

T＝(10^2)*t と置くと，T^4＋3.2*10^8 *T－1.2*10^12＝0 は，

(10^2)^4*t^4＋3.2*10^8*(10^2)t－1.2*10^12＝0
10^8*t^4＋3.2*10^10*t－1.2*10^12＝0
10^8*(t^4＋3.2*10^2*t－1.2*10^4)＝0
t^4＋3.2*10^2*t－1.2*10^4＝0
t^4＋320t－12000＝0 となります．したがって，

t^4＋320t－12000＝0 の解は，

t1＝－11.17135502556
t2＝0.73026213089－10.49204395695*i
t3＝0.73026213089＋10.49204395695*i
t4＝9.71083076378
y＝t^4＋320t－12000 の 極大、極小は
(－4.308869380064, －13034.128651215304)．変曲点はありません.

です．t1 と t4 が実数解で，t2 と t3 は，複素数となりました．
t1 ，t2 ，t3 ，t4 を，それぞれ，１００倍すれば，T の値が得られます．

1/(T^4＋3.2*10^8 *T－1.2*10^12) は，
1/(T^4＋3.2*10^8 *T－1.2*10^12)＝1/[10^8*(t－t1)*(t－t2)*(t－t3)*(t－t4)]
となりますから，この後は，考えてみて下さい．
なお，四次方程式を解くプログラムがあるサイトは，

http://wshounen.la.coocan.jp/FourthOrderEquation1.php

です．

参考URL：

http://wshounen.la.coocan.jp/FourthOrderEquation1.php

お礼

大変ありがとうございました。

回答No.3

Knotopolog

1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)＝
＝A/(y－y1)＋B/(y－y2)＋C/(y－y3)＋D/(y－y4) の形に書けるかどうかは，即答出来ませんが，a,b,c,d,e が全部分かっているのであれば，
1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)＝
＝A/(y－y1)＋B/(y－y2)＋C/(y－y3)＋D/(y－y4) の形になると仮定して，時間と手間を掛けて，単純に，y1　y2　y3　y4　を算出し，かつ，

A(y－y2)(y－y3)(y－y4)＋B(y－y1)(y－y3)(y－y4)
＋C(y－y1)(y－y2)(y－y4)＋D(y－y1)(y－y2)(y－y3)＝1

となるように，A,B,C,D を計算するしかないように思われます．この式は，
A/(y－y1)＋B/(y－y2)＋C/(y－y3)＋D/(y－y4) を通分したときの，分子です．
分母は，(y－y1)(y－y2)(y－y3)(y－y4) です．
なお，「部分分数分解」については，wikipedia の

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3#.E5.AE.9F.E6.95.B0.E4.BF.82.E6.95.B0.E6.9C.89.E7.90.86.E5.BC.8F.E3.81.AE.E5.88.86.E8.A7.A3

を参考にして下さい．また，「ヘヴィサイドの展開定理」が下の wikipedia にありますが，参考になるでしょうか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

補足

Knotopologさん　助かりました、本当にありがとうございます。全部計算すれば確かに難しいですね。
ただいま式が出来ました。下記の式は簡単な分解方法ありませんか
1/（T^4+3.2*10^8 *T-1.2*10^12)

回答No.2

Knotopolog

＞y=f(x) 下記の微分方程式は解けますか？（プログラム以外）

変数分離による求積法で解けます．
一階の常微分方程式

dy/dx＝a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e　　・・・（●）

の一般解は，C を積分定数として，

∫[1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)]dy＝x＋C　・・・(★)

と表示できますから，これで解けたことになります．
微分方程式（●）としての話は，これで終わりです．
（●）については，これ以上話の進めようがありません．
解けたのですから，話は終わりです．

次の議論として，定数，a,b,c,d,e　に，数値を与えたり，
a,b,c,d,e　間の関係を与えたりすれば，
（★）の不定積分：∫[1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)]dyの
議論になりますから，
種々様々な不定積分上の話になって来ますが，
不定積分：∫[1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)]dy　は，
簡単に積分できない場合も出てくる筈ですから，
おもしろ味はありそうです．　　　（以上）

補足

丁寧にご回答いただきありがとうございます。仰った方法はわかりますけど、
不定積分：∫[1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)]dyの解け方法については
質問させていただきたいです。もちろん実際は定数，a,b,c,d,e全部分かります。
仮に解けるとしたら、1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)最終的にどのような
形になりますか、それについての定理がありますか。たとえば
1/(a*y^4＋b*y^3＋c*y^2＋d*y＋e)＝A/(y-y1)+B/(y-y2)+C/(y-y3)+D/(y-y4)
のような形に書けますか（ｙ１～ｙ４は解とする）

回答No.1

noname#125930

a*y^4+b*y^3+c*y^2+d*y+e=0なるyについての解をa1,a2,a3,a4とおくと
dy/dx=a(y-a1)(y-a2)(y-a3)(y-a4)と変形し、変数分離法を利用して後は
部分分数展開して積分を実行すればできる。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
大筋はわかりますが、詳細のところはあまりわかりません。
特に部分分数展開にていて　ご教授いただけませんか