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∇演算子の計算
∇×∇×A = ∇∇•A -∇^2A ですが、右辺の∇∇•Aと∇^2Aの違いがわかりません。 同じだと打ち消し合って0になってしまいます。 計算の仕方が違うのならば、∇∇•Aの計算方法を教えて下さい。 ちなみに、∇は極座標表示で ∇ = ∂/∂r* ar +∂/r∂θ* aθ + ∂/r sinθ∂φ* aφ ar, aθ, aφはそれぞれ極座標単位ベクトルです。 どなたか、ご指摘、アドバイスよろしくお願いいたします。
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一番ややこしい項は ∇^2 A で、 ∇^2 の ^2 が ∇ どうしの内積を表していることや、 ∇^2 は本来スカラからスカラへの写像のはずで、 ベクトルへ作用するときには ∇^2 [u, v, w] = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w] という意味 であることなどを知っていないと読めません。 ∇を使った式の書きかたに慣れていないならば、 その公式は、rot rot A = (grad div A) - (div grad A) とでも書いたほうが解りやすいかもしれない。 あるいは、∇で書くにしても、筆を加えて ∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - (∇・∇)A とか、 ∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - ΔA とか。 結局、A = [u, v, w] のとき、 ∇∇•A = ∇(∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z) = [∂^2u/∂x^2+∂^2v/∂y∂x+∂^2w/∂z∂x, ∂^2u/∂x∂y+∂^2v/∂y^2+∂^2w/∂z∂y, ∂^2u/∂x∂z+∂^2v/∂y∂z+∂^2w/∂z^2] ∇^2 A = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w] = [∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2, ∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2+∂^2v/∂z^2, ∂^2w/∂x^2+∂^2w/∂y^2+∂^2w/∂z^2] となります。 尚、この回答では、 計算順序の ( ) と区別するため、ベクトルの括弧を [ ] と書きました。
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- info22_
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#2です。 参考までに 過去の同じ式の証明のQ&Aです。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1317253528
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
括弧をつける ∇×(∇×A) = ∇(∇•A) -∇^2 A rot(rot A) = grad (div A) - ∇^2 A （rotとcurlは同義語の別呼称） 参考URL http://www.gijyutsu-keisan.com/science/math/vector/vector_3_2_4.html http://mathworld.wolfram.com/Nabla.html http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html http://mathworld.wolfram.com/VectorDerivative.html http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html
- Tacosan
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∇∇•A と書くから混乱する. 丁寧にかっこを付けて ∇(∇•A) と書けばいい.
お礼
ご丁寧に説明して下さり、ありがとうございました。 ∇∇Aを∇(∇•A)と書くと∇^2Aとの違いがわかり理解できました。 みなさん、本当にありがとうございました。