三角波のフーリエ級数

質問

三角波をフーリエ級数で表すときsin（2n-1）ωtというのが出てきます。2n-1とする仮定が分かりません。三角波のフーリエ級数表示の導出を教えて下さい。もしくは、それがあるHPを教えて下さい。

回答No.3

2718281828 · ベストアンサー

回答から先に。一般的なフーリエ級数展開については、参考URLで確認して下さい。これをそのまま三角波に適用するだけです。ただ、これについてはご存知なのでしょうね、きっと。

ichiro0000さんが勉強したテキストでは、「基本数の偶数倍の高調波は出ない」という仮定をおいて算出しており、その仮定がどこから出てくるか？という質問だと思います。

その仮定は、正弦波と三角波のグラフを並べて描いて見比べれば解ります。どちらも奇函数なので、半周期(0～T/2)にだけ注目します。すると、そのグラフは1/4周期(T/4)の前と後では対称になっていますよね。次に、基本周波数の二倍・三倍の高調波のグラフも描いて同じことをして下さい。同じような対称を示すのは三倍の高調波です。偶数倍の高調波はその対象性がありません。したがって、偶数倍の高調波成分が入り込むとその対象性が崩れてしまい、三角波には収束し得ない、ということがわかると思います。

私もかつてそうであったように「偶数倍の高調波がたくさん入れば、お互いにキャンセルしあって、対象性の崩れも元に戻るのではないか？」という疑問を持たれるかもしれません。が、それは有り得ません。それを理解するには、函数の直交性・フーリエ級数の収束について理解する必要があります。それ相応の専門書でみっちり学んで下さい。
そうでなければ、別に質問を立てて下さい。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/tomka/fourier1.html

回答No.2

y_13

y_13です。補足します。
　補足の件の

　>>「cos波の周波数成分が奇数倍のものしかない」とありますが「sin波の周波数成分が奇数倍のものしかない」との間違いではないでしょうか？

　という話についてですが、先日私が目を通した文献では対象とする三角波がx=0のときy=A(←三角波の最大値)を通る、いわゆる偶関数だったんですよ。
　偶関数はフーリエ級数展開するとsin波の成分が0、cos波の成分だけになっちゃうんですよね。
　だのでichiro0000さんの扱っている三角波がx=0でy=0、奇関数だったのならフーリエ級数展開するとcos波の成分が0になってsin波の成分だけになるんで、そういうお互いの扱う三角波の位相の違いからきた問題だったんだと思います。けど前回の回答みたいな表現はちょっと不親切だったかもしれませんね。ごめんちょ

　で、なんで三角波に奇数倍の高調波しか出てこないのかということについてですが前述した私の文献の偶関数としての三角波を例にとると、とりあえずフーリエ係数の計算結果が

　　anはnが偶数の時0、nが奇数の時に8A/(πn)^2(Aは例によって三角波の最大値)
　　bnは0

となることに起因していますということだけ記しておきますね。

回答No.1

y_13

どこかで習ったことがあるような気がしたので手持ちの本を見たところ、どうやらcos波の級数をガチャガチャやってsin波で表現しようとするとsin(2n-1)ωtという表現が出てくるみたいですね。cos波の周波数成分が奇数倍のものしかないので、Σでくくったらそうなるみたいですよ。
　補足が必要ならまたやりますけど…どうでしょうか？

お礼

有難う御座います。
私も、結果的にそうなるのだろう・・程度の理解です。取り合えずそれを使うにあたって回りの方がどの程度の理解で使っているのかが気になっていました。だから、この回答でOKです。

補足

再度お願いいたします。
「cos波の周波数成分が奇数倍のものしかない」とありますが
「sin波の周波数成分が奇数倍のものしかない」との間違いではないでしょうか？
私自身調べてみましたが分かりません。どうでしょうか？