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多様体の問題です。
Ｃ^r級写像 ｆ:Ｍ→Ｎ とする。ここで Ｆ:Ｍ→Ｍ×Ｎ Ｍ×Ｎ:積多様体 Ｆ(p)=(p,f(p)) ならば Ｆが埋め込みであることを示せ。 という問題です。 わかる方いましたら解答を教えて頂けると幸いです。
- mathsawamura
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多様体、積多様体、埋め込み、連続写像、… 各用語の定義を確認するだけの問題です。 証明は一本道で、定義をキチンと書き出せば、 考える部分はほとんどありません。 M, N を位相空間 T 上の多様体とし、 M, N, T の開集合族に Om, On, Ot と名前を付けます。 M, N の地図帳にも { Uk | k∈Λm }, { Vk | k∈Λn } と名前を付けましょう。それらの記号を使って、 頭記の各用語の定義を形式的に書き出してみて下さい。 F が単に集合の埋め込みであることを示すのは、 (p,f(p))=(q,f(q)) ⇒ p=q を言うだけですが、 多様体の埋め込みであることを示すには、 埋め込み写像が多様体の準同型であることを 添える必要があります。
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