多様体の問題です。

質問

Ｃ^r級写像
ｆ:Ｍ→Ｎ
とする。ここで
Ｆ:Ｍ→Ｍ×Ｎ
Ｍ×Ｎ:積多様体
Ｆ(p)=(p,f(p))
ならば
Ｆが埋め込みであることを示せ。
という問題です。

わかる方いましたら解答を教えて頂けると幸いです。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

多様体、積多様体、埋め込み、連続写像、…
各用語の定義を確認するだけの問題です。
証明は一本道で、定義をキチンと書き出せば、
考える部分はほとんどありません。

M, N を位相空間 T 上の多様体とし、
M, N, T の開集合族に Om, On, Ot と名前を付けます。
M, N の地図帳にも { Uk | k∈Λm }, { Vk | k∈Λn }
と名前を付けましょう。それらの記号を使って、
頭記の各用語の定義を形式的に書き出してみて下さい。

F が単に集合の埋め込みであることを示すのは、
(p,f(p))=(q,f(q)) ⇒ p=q を言うだけですが、
多様体の埋め込みであることを示すには、
埋め込み写像が多様体の準同型であることを
添える必要があります。