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(1)AとBが排反 AとCが排反のときP(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C) 一般のABCについて P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)を示せ という問題です わかる方おねがいします
- makigami2010
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(1) A∩B=φ A∩C=φ A∪B∪C=A∪(B∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=φ→P(A∪B∪C)=P(A∪(B∪C))=P(A)+P(B∪C) B∪C=B∪(C-B) B∩(C-B)=φ→P(B∪C)=P(B∪(C-B))=P(B)+P(C-B) C=(C-B)∪(B∩C) (C-B)∩(B∩C)=φ→P(C)=P((C-B)∪(B∩C))=P(C-B)+P(B∩C)→P(C-B)=P(C)-P(B∩C) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B∪C)=P(A)+P(B)+P(C-B)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C) (2) A∪B∪C=(A∪B)∪{C-(A∪B)} (A∪B)∩{C-(A∪B)}=φ→P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C-(A∪B)) C=(C-(A∪B))∪((A∪B)∩C) (C-(A∪B))∩((A∪B)∩C)=φ→P(C)=P(C-(A∪B))+P((A∪B)∩C) →P(C-(A∪B))=P(C)-P((A∪B)∩C) →P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C)-P((A∪B)∩C) A∪B=A∪(B-A) A∩(B-A)=φ→P(A∪B)=P(A)+P(B-A) →P(A∪B∪C)=P(A)+P(B-A)+P(C)-P((A∪B)∩C) B=(B-A)∪(A∩B) (B-A)∩(A∩B)=φ→P(B)=P(B-A)+P(A∩B)→P(B-A)=P(B)-P(A∩B) →P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P((A∪B)∩C) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)=(A∩C)∪{(B∩C)-A} (A∩C)∩{(B∩C)-A}=φ→P((A∪B)∩C)=P(A∩C)+P((B∩C)-A) →P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P((B∩C)-A) B∩C={(B∩C)-A}∪(A∩B∩C) {(B∩C)-A}∩(A∩B∩C)=φ→P(B∩C)=P((B∩C)-A)+P(A∩B∩C) →P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
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- Tacosan
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下は 2個のときを拡張するだけ. それができれば上は自動的に出てくる.
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