留数の求め方。

質問

問題：次に示す関数について各問いに答えなさい。
f(z)=e^jz/{(2z-π)(z-π)}
(1)関数ｆの特異点における留数を求めなさい。
(2)積分路C:|z-1|=1の正の向きに沿って積分しなさい。
(3)積分路C:|z|=1の正の向きに沿って積分しなさい。

留数については、特異点が、z=π/2,πで、f(z)を部分分数に分解していくですよね。そこで問題なのが
・虚数が含まれてても、係数合わせでといていいんでしょうか？
・そのあと、どうすれば留数が出てくるんでしょうか？
ご指導よろしくお願いします。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

（１）
竜数を求めるのに部分分数に分解する必要はありません。
Ａ＝ｌｉｍ（ｚ→ａ）ｆ（ｚ）・（ｚ－ａ）
が求まればｆ（ｚ）のｚ＝ａにおける竜数はＡです。

（２）（３）
積分閉曲線が左に囲む部分にあるｆ（ｚ）の特異点の竜数の総和がＳならば
∫ｆ（ｚ）ｄｚ＝２・π・ｉ・Ｓ
です。

回答No.2

siegmund

今の場合は e^(jz) を除いた部分を部分分数分解してもできますが，
(1)　　g(z) = e^jz/{(2z-π) (z-π)^2}
だったりするとうまく行きません．
keyguy さんのようなやり方がベストでしょう．

今の問題では z=π/2,πが１位の極になっているのは自明です．
したがって，例えば z=π 近傍で (z-π)f(z) は正則で，
(2)　　(z-π)f(z) = a_0 + a_1 (z-π) + a_2 (z-π)^2 + ...
とテーラー展開できます．
で，(2)の両辺を z-π で割れば，f(z) のローラン展開が得られて，
留数が a_0 であることはすぐわかります．
a_0 は　(2)の左辺で z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものに
他なりません．
これが keyguy さんの書かれている公式です．

もし(1)の関数だったら z=πは２位の極ですから
(3)　　(z-π)^2 g(z) = b_0 + b_1 (z-π) + b_2 (z-π)^2 + ...
を考えることになり，こんどは b_1 が g(z) の留数になります．
つまり，(z-π)^2 g(z) を１回微分して
z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものから留数が得られます．
同様に n 位の極でしたら (z-π)^n h(z) を n-1 回微分して
z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものから留数が得られます．
ただし，(n-1)！の因子の調整に注意．

ミスタイプがあるかも知れませんので，チェックもよろしく．