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数学の三平方の定理の質問です。

数学の三平方の定理の質問です。 考えても解けませんでした(^^;; ↓は立方体で、三角錐O-ABCの頂点Oから底面ABCに引いた垂線の長さを求めなさい。 解説をお願いしますm( __ __ )m

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質問者が選んだベストアンサー

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  • H3PO4
  • ベストアンサー率75% (3/4)
回答No.4

この問題は、三角錐O-ABCの体積を２通りの方法で求めてやれば解答はすぐでます。 まず、立方体は正方形の集まりであり、すべての辺が１０であることを念頭に置いて解いていきます。 三平方の定理を用いて、辺ＡＣ、ＡＢ、ＢＣの長さを求めます。 一辺の長さが１０ですから、ＡＣ＾2＝１０＾2＋１０＾2　　　　　ＡＣ＝√２００＝１０√２ 他の辺ＡＢ、ＢＣも同様に求めて、ＡＢ＝１０√２、ＢＣ＝１０√２ 三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝１０√２であることから正三角形であるとわかる。 ここで、辺ＡＣに中点Ｍをとり、ＡＭ＝５√２とする。 ここから、三平方の定理を使って、辺ＢＭを求める。 　　　ＡＢ＾2＝ＡＭ＾2＋ＢＭ^2 　　　ＢＭ^2＝２００－５０＝１５０ よって、ＢＭ＝５√６ したがって、三角形ＡＢＣの面積は、 　　　　　　　　ＢＭ×ＡＣ×1/2＝１０√５×５√６×1/2＝２５√３０ そして、求めるべき値、頂点Ｏから底面ＡＢＣに引いた垂線を仮に辺ＯＬとします。 以上の条件を使って、三角錐O-ABCの体積を２通りで出します。 １）ＯＢ×（ＯＣ×ＯＡ×1/2）×1/3＝１０×５０×1/3＝５００/３ ２）（ＢＭ×ＡＣ×1/2）×ＯＬ＝２５√３０×ＯＬ １、２はどちらも三角錐O-ABCの体積を求めたものなので以下の式が成り立つ 　　　　　　　　　２５√３０×ＯＬ＝５００/３ これを解くと、ＯＬ＝５００/３×１/２５√３０ 　　　　　　　　　＝２０/３√３０ 　　　　　　　　　＝２√３０/９ よって、求める値は２√３０/９

その他の回答 (3)

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

＃２です。訂正 △ABCは１辺5√2の正三角形なので ↓ △ABCは１辺10√2の正三角形なので

Raina-Report
質問者

補足

すみません、コピペですが,, 三角形ABCの面積を求めて、50√3でした。 三角錐O-ABCの体積を求める際に、 10*10*1/3をするそうなのですが、 これだと平面になってしまいませんか? 何故これで成り立つのか教えてください(>_<)

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.2

三角錐の体積は、底面積×高さ÷３　です。 求めたい垂線の長さをxとすれば、三角錐O-ABCの体積は、 △ABCは１辺5√2の正三角形なので、(50√3)*x/3 一方、△OACを底面と考えれば、1000/6 これが一致することからxが求められます。

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

ＡＣの中点をＤとし、三角形ＯＢＤを考えます。ＯからＢＤに垂線を下ろせばそれが問題で問われている垂線と一致します。

Raina-Report
質問者

補足

三角形ABCの面積を求めて、50√3でした。 三角錐O-ABCの体積を求める際に、 10*10*1/3をするそうなのですが、 これだと平面になってしまいませんか? 何故これで成り立つのか教えてください(>_<)

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