数学について質問なのですが、これは問題の丸投げに当たるのでしょうか。

質問

数学について質問なのですが、これは問題の丸投げに当たるのでしょうか。
もし利用規約に反していればご指摘お願いします。

(1-2x)の3/x乗、のlimx→0を求める問題です。
回答では-2xをtと置いて答えは1/e6となります。

意味は分かるのですが
これはt=2/xと置くのは間違いでしょうか・・・
(1-6/t)^tのlimt→∞となって1になるかと思ったのですが
どこが間違っているんでしょう

よろしくお願いします

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

べき乗を^の記号で表わす事にします。
たとえば2の5乗なら、2^5と表記する事にします。

> 重ねて質問させて頂きたいのですが
> 1^∞
> は不定形なのですか？
> 1は何乗しても1なら∞乗しても1に収束は・・・しないんですか;？

eの定義を思い出して下さい。
高校数学では、eは(1 + 1/n)^nのn → ∞の時の極限値だと習うと思います。
これは1^∞の形ですが、1に収束していませんよね。

本物の1なら無限乗しても1になります。
でも(1 + 1/n)^nや(1 - 2x)^(3/x)は「1に収束するもの」の無限乗です。

たとえば
1.1^∞ = ∞
1.01^∞ = ∞
1.001^∞ = ∞
1.0001^∞ = ∞
・
・
・
ですし、
0.9^∞ = 0
0.99^∞ = 0
0.999^∞ = 0
・
・
・
となります。
このように1に近づけた値を無限乗しても、1になりません。
この例は指数を固定して底を変化させた場合の話です。

逆に底を1で固定して、指数を変化させると(∞にもっていくと)今度は1に収束します。
例えば1^nのn → ∞の時の極限値は1です。

(1 + 1/n)^nや(1 - 2x)^(3/x)はこの2つの例のどちらにも当てはまりません。
底も指数もともに変化します。
なのでこの時の極限を計算する時、
指数を固定した時のように∞または0になるのか、
底を固定した時のように1に収束するのか、
あるいはどちらの場合とも違う結果がでるのかが分からないんです。

どうしても納得できないなら、実際に計算してみるといいかも知れません。
(1 + 1/n)^nにn = 1, 10, 100, 1000, …と代入して、
本当に1に収束しないのかどうかを確かめるんです。
関数電卓等を利用すれば、100乗や1000乗も簡単に計算できます。

回答No.1

spring135

＞これはt=2/xと置く

先ず細かいミスですが
t=3/x
の間違いですね。

この時
(limx→0)(1-2x)^3/x=(limt→∞)((1-6/t)^t
は　いわゆる

1^∞

タイプの不確定型になり、このままでは収束、発散の判定がつきません。1にはなりません。
結局さらにu=1/tのような変換をして
(limx→0)(1+x)^1/x＝e
を用いることに帰着します。

補足

回答ありがとうございます

重ねて質問させて頂きたいのですが
1^∞
は不定形なのですか？

1は何乗しても1なら∞乗しても1に収束は・・・しないんですか;？