ロケットの速度増分について質問です．

質問

ロケットの速度増分について質問です．
ロケットを地上の静止状態からある高度の円軌道まで加速するのに必要な速度増分ΔVを求める問題を解いでいるのですが，
その高度の速度（V1)を求めて，ΔV＝V1-0=V1でいいのか，
それとも，その軌道のエネルギーと地上のエネルギーをそれぞれE１，E０を求めて，1/2ΔV＾2＝E１－E０からΔVを求めるのかどっちが正しいですか？

それと，その軌道からさらに第二宇宙速度（V2）まで加速するとき必要な速度増分ΔV’を求めるときはΔV'＝V2－V1でいいのかエネルギーを使って求めるのかどっちが正しいのでしょうか？
よろしくお願いします．

回答No.1

yokkun831

ポイントは，もとの場所で必要な速度増加と，最終到達速度をはっきり分離して考えるという点にあります。

軌道投入に必要な最終速度は，円運動の方程式で決まります。

mv^2/(R+h) = GMm/(R+h)^2

∴　v = √{ GM/(R+h) }

しかし，この最終速度を地上での初速度のみによって確保する，というのであれば必要な初速度はエネルギー保存によって決定されなければなりません。

地球の自転は無視するとして，

地上で静止しているときのエネルギー：
E0 = - GMm/R

円軌道運動しているときのエネルギー：
E1 = 1/2・mv^2 - GMm/(R+h)
　 = - GMm/{2(R+h)}

地上において付け加えるべきエネルギー：
ΔE = E1 - E0 = GMm(R+2h)/{2R(R+h)}

地上において一気に加速して軌道投入に必要な初速度を得ようとするならば，そのときに最低限必要な初速度v0は，

ΔE = 1/2・mv0^2

から得られます。当然，v0 > vであって，軌道位置に上昇するまでにロケットは速度を失っていき，軌道位置で円軌道に移るのにちょうどよい速さに落ち着くという計算になります。もちろん，この方法は現実にはとられていませんが，理論的には可能ということです。

後半の問題についても，以上の点をしっかりおさえれば理解できると思いますが，いかがでしょうか？