座標とは何か？

質問

低レベルの話で恐縮なんですが、
点P(a,b)があるとき、わたしは、a や b は「位置」を示す数字だと思っていました。
”X軸上の「位置」が a ならばY軸からの「距離」も a 、
逆にY軸からの「距離」が a ならば、X軸上の「位置」も a”
という考え方を、今のいままでずっとしてきたのですが、
最近ふと「位置を示す数字ってなんだ？」という疑問が湧いてきました。
そして、”「位置」は原点からの「距離」によって間接的にしか
表せないもの”という解釈が生まれてきているのですが、
今までのわたしの
”a や b は「位置」を示す数字”という考え方は間違っていたのでしょうか？
みなさんはわたしのような考え方はしていないのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.5

grothendieck

harisunさん良いところに気が付きました。一言でいえば位置ベクトルは真のベクトルではなく，アフィン空間の元であるということです。位置ベクトルは原点を動かせばどういうふうにも変わってしまうし，位置ベクトル同士の和は作れません。一方位置ベクトルの差(移動)は真のベクトルです。位置は原点を決め，そこからの相対的な位置によってしか表わせません。このように位置を示す数字とそれらの差を表わすべくトル空間を持つ集合をアフィン空間と呼びます。アフィン空間はきちんと教えられないことが多く，混乱を招いていると言って良いでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.4

apple-man

＞それぞれのa,bを「位置」を示す数字と解釈するのは正しいのでしょうか？

　単位ベクトルの係数という表現がいいの・・・では
ないかと？

　つまり原点と点Pを結ぶ直線とｘ軸の間の角度
を求めなさいという問題があったとすると、
単位ベクトルが直行しているかどうかで
答えが違ってしまうことから、点P(a,b)だけ
では位置を限定できない。
　また、単位ベクトルの単位が分からないと、
原点からの距離√(a^2+b^2)と言っても
何センチか何メートルが分からない。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ベクトルの話だとちょっと理解できないです。

回答No.3

ranx

「距離」が本質的、「位置」は派生的なものだという考え方ですね。
どうでしょうねえ。

普通の直交座標系では、原点からＸ軸方向へ１、Ｙ軸方向へ１進んだ
地点までの距離は√２です。しかし、どんな場合でもそうなるのか
というと、必ずしもそう決まったものでもありません。

例えば世界地図を考えてみましょう。世界地図は東経・西経・北緯・南緯と
いった数値で地点を示しますが、これも一種の座標と考えることもできます。
ところで、東経０度北緯０度の地点から東へ千ｋｍ、北へ千ｋｍ進んだ
地点までの距離は√２×千ｋｍでしょうか。平面の地図上ではそれに相当
する距離に見えるかもしれません。ですけど、違いますね。地球の表面は
球面ですから、平面上の幾何学はそのまま適用することができず、少し
短い距離になります。通常の平面（ユークリッド平面と言います）では
なくとも、座標系は使うことができます。しかし、その場合、通常の
距離の概念は使うことができません。

別の例をあげましょう。横軸に時間を、縦軸に距離を表すグラフを
考えます。これも一種の座標系です。この場合、原点から右へ１時間、
上へ１ｋｍ進んだ地点までの距離・・・など、もはや考えることが
できません。

それでも、横軸は横軸で、縦軸は縦軸で、量と位置とが対応していると
お考えかもしれません。では別の例を。横軸に様々な食品、縦軸に
それに含まれる栄養、例えばタンパク質の量をとります。これも
一種の座標系です。この場合、横軸はもはや何らかの量を示すものでは
なくなります。これまでの「連続的」な座標と異なり、これは「離散的」
なのです。

長々と書いてきましたが、要するに、「距離」の概念が成立しない場合
でも「位置」の概念は成立すると思うのです。ですので、私は質問とは
逆に、「位置」の方が第一義的で、「距離」の方は二義的なものだと
考えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

fushigichan

harisunさん、こんにちは。
低レベルの問題じゃないですよ。
平面幾何学で、座標を考えるときに、最も基本的でありながら大切な概念です。

＞点P(a,b)があるとき、わたしは、a や b は「位置」を示す数字だと思っていました。

そうです。そのとおりです。
「位置」は、(a,b)という組で決まりますが、
それぞれの、a,bという数字は、x軸、y軸のどのあたりにあるのか？？
という原点からの距離を表しています。

たとえば、(1,3)という座標は、ｘ軸上では、１、ｙ軸上では、３の位置にあります。
これは、ｘ軸上では、原点から１行ったところ、かつｙ軸上では、原点から３
行ったところということになります。
xy平面では、x軸方向に（右側に）＋１だけ行って、さらに
y軸方向に（上側に）＋３だけ行ったところの点が(1,3)です。
そういう位置関係を表しています。

(3,1)はどうでしょうか？
x軸方向に＋３
y軸方向に＋１だけ行ったところの位置を表しています。

これらの、原点からの距離は、どちらも
√(1^2+3^2)=√10
√(3^2+1^2)=√10
と同じですが、位置は違う位置にありますよね。
このように、平面では、x軸の方向と、y軸の方向と
２つの方向と、それらの方向に「どれだけ行くのか」
ということが、その位置を示すかぎになっています。

このような説明でお解かりいただけるか疑問ですが
ご参考になれば、と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
> 「位置」は、(a,b)という組で決まりますが、
それぞれの、a,bという数字は、x軸、y軸のどのあたりにあるのか？？
という原点からの距離を表しています。

重ねてお聞きしたいのですが、
それぞれのa,bを「位置」を示す数字と解釈するのは正しいのでしょうか？

回答No.1

he-goshite-

harisunさんのお考えと全く同じようにわたしも考えていて，不都合ありませんでしたよ。

で，これはX軸とY軸とが直角に交わっている「直交ＸＹ座標」の場合の座標ですが，
点Ｐの位置の表し方はこのやり方に限らずほかの方法も考えられます。
たとえば，
原点と点Ｐを直線で結びます。この線分ＯＰの長さ（ｒ）と，Ｘ軸とこの直線との角度（θ）（Ｘ軸から直線に向かって角度を測る）の組みで，平面上の点Ｐの位置を表すやりかたです。点Ｐ（ｘ，ｙ）ではなく，点（ｒ，θ）と表します。

お礼

ご回答ありがとうございます。
> harisunさんのお考えと全く同じようにわたしも考えていて，不都合ありませんでしたよ。

そう言っていただけて何となく安心しました。