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離散数学
離散数学 示し方が全く分かりません。 分かる方お願いします。 1次不定方程式ax+by=cに対して、x=x',y=y'が特殊解のひとつであるとき、一般解は x=x'+(b/d)k y=y'-(a/d)k (kは整数) と表せることを示せ。 ただし、d=gcd(a,b)
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x=x',y=y'がax+by=cの特殊解のひとつであればax'+by'=cであり,一般解x,yについてもax+by=cが成り立つ。 辺々ひいてa(x-x')+b(y-y')=0である。 d=gcd(a,b)とすれば両辺をdで割って(a/d)(x-x')+(b/d)(y-y')=0であり, (a/d)と(b/d)は互いに素であるから(x-x')は(b/d)の倍数であり, kは整数としてx-x'=(b/d)kとおける。このとき(y-y')=-(a/d)kとなる。 これよりx=x'+(b/d)kであり,y=y'-(a/d)kである。 逆に任意の整数kに対してx=x'+(b/d)kでy=y'-(a/d)kとすれば ax+by=a(x'+(b/d)k)+b(y'-(a/d)k)=ax'+by'=c となってx,yはax+by=cの一般解となっている。
お礼
どうもありがとうございます! しっかり復習して身につけたいと思います。