黒体輻射におけるプランクの分布則に関する質問です。

質問

黒体輻射におけるプランクの分布則に関する質問です。

プランクの分布則で、（υ，T）を変数として表した式から、（λ，T）を変数とする式へと変換したいのですが、
なぜか求めたい式とは－１倍違ってきてしまいます。

ちなみに導出では（υ，T）の式に対して、υ＝c／λ，dυ＝－c／λ^2を代入しました。

物理化学初学者です。
分かる方がいらっしゃいましたら、何が間違っているのか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

101325

(1) 振動数がνとν+dνの間にある電磁波の放射エネルギー密度をρ(ν,T)dνとする。
(2) これより、波長がc/νとc/(ν+dν)の間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(ν,T)dνとなる。
(3) |dν/ν|≪1より、波長がc/νと(c/ν)・(1-dν/ν)の間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(ν,T)dν。
(4) ν＝c/λ, dν＝-(c/λ^2)dλを代入すれば、波長がλとλ・(1+dλ/λ)の間にある電磁波の放射エネルギー密度は-ρ(c/λ,T)・(c/λ^2)dλになる。
(5) つまり、波長がλとλ+dλの間にある電磁波の放射エネルギー密度は-ρ(c/λ,T)・(c/λ^2)dλ。

たしかに、負号がつきますね。

どうしてこういうことが起こるかというと、(1)では、dν＞0 であることが暗に仮定されているからです。つまり、ρ(ν,T)＞0のもとでρ(ν,T)dν＞0であるためには、dν＞0でなければならない。dν＞0であるならば、(5)のdλは、dλ＜0になるので、波長がλとλ+dλの間にある電磁波の放射エネルギー密度は正の値になります。一方、ふつうは、波長がλとλ+dλの間にある電磁波の放射エネルギー密度は、関数f(λ,T)＞0 をつかって、f(λ,T)dλのような形に書きます。このような形で書いたときには、dλ＞0が暗に仮定されていますので、上の(1)～(5)の手続きから求めた放射エネルギー密度とは、－１倍違ってきてしまいます。

この問題を回避するには、はじめにdν＜0 を仮定してから変換していけばいいです。dν＜0ならば、振動数がνとν+dνの間にある電磁波の放射エネルギー密度は(-1)×ρ(ν,T)dνになります。ここから始めれば、波長がλとλ+dλの間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(c/λ,T)・(c/λ^2)dλ，かつ dλ＞0 となります。

あるいは絶対値を使ってもいいです。
(1') 振動数がνとν+dνの間にある電磁波の放射エネルギー密度をρ(ν,T)|dν|とする。
(2') これより、波長がc/νとc/(ν+dν)の間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(ν,T)|dν|となる。
(3') |dν/ν|≪1より、波長がc/νと(c/ν)・(1-dν/ν)の間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(ν,T)|dν|。
(4') ν＝c/λ, dν＝-(c/λ^2)dλを代入すれば、波長がλとλ・(1+dλ/λ)の間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(c/λ,T)・(c/λ^2)|dλ|になる。
(5') つまり、波長がλとλ+dλの間にある電磁波の放射エネルギー密度はρ(c/λ,T)・(c/λ^2)|dλ|。

ところで、波長を表すギリシャ文字にはυ（ウプシロン）ではなくν（ニュー）を使うのがふつうです。似ていますが違う文字ですので、気をつけてください。