高等数学をご専門の方に質問があります。今、思春期女子の身長発育速度（1

質問

高等数学をご専門の方に質問があります。今、思春期女子の身長発育速度（1年間にどれくらい身長が伸びたか）を調査しており、身長発育速度をY軸として、時間軸をX軸とすると、以下のデータがとれました。
(-8, 3.2) (-6, 7.3) (0, 10.4) (7, 4.8) (12, 2.2) (15,2)
これらを眺めていると滑らかな身長発育曲線が描けそうですが、それらのデータから最小2乗法などの近似曲線を示すｎ次関数を定義するためにはどうしたらよいですか。
また、ある定点における曲線の傾きは速度の時間微分ですので、身長発育加速度ともいえると思いますが、それらの求め方をご教示お願いしたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。
専門ではありませんが、やったことがあるので回答します。

ｋ番目のデータを（ｘk，ｙk）と表すことにして、データがｍ個あるとします。
それをｎ次関数に当てはめることを考えます。

以下、二次関数について述べますが、三次以上でも考え方はまったく同じです。

当てはまった状態の二次関数（近似曲線）を
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
と置きます。

ｋ番目のデータの、近似曲線からの外れ具合　εk　は
εk　＝　ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk
と表せます。
二乗誤差は、
εk^2　＝　（ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk）^2
です。

ｍ個のデータの二乗誤差の合計Ｓは、
Ｓ　＝　Σ[k=1⇒m]εk^2
　＝　Σ[k=1⇒m]（ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk）^2

ここで、ａ、ｂ、ｃは未知数です。
一方、ｘk、ｙk　はデータなので、既知数です。
よって、ａについて、ｂについて、ｃについて、それぞれで
Ｓが最小になるようにすれば、最小二乗をやったことになります。

最小とは、すなわち、極小。
極小とは、すなわち、極値。
極値ということは、微分をしたものがゼロということです。

すなわち、
∂Ｓ／∂ａ　＝　０
∂Ｓ／∂ｂ　＝　０
∂Ｓ／∂ｃ　＝　０
という３本の式からなる連立方程式によって、ａ、ｂ、ｃを求めればよいのです。
具体的には、
０　＝　∂Ｓ／∂ａ　＝　２Σ[k=1⇒m]｛ｘk^2（ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk）｝
０　＝　∂Ｓ／∂ｂ　＝　２Σ[k=1⇒m]｛ｘk（ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk）｝
０　＝　∂Ｓ／∂ｃ　＝　２Σ[k=1⇒m]（ａｘk^2　＋　ｂｘk　＋　ｃ　－　ｙk）
です。
これらに、
（ｘ1，ｙ1）＝(-8, 3.2)
（ｘ2，ｙ2）＝(-6, 7.3)
・・・・・
を代入して計算します。

また、そうして得られた式
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
をｘで微分すれば、「加速度」が求まります。

おわかりかと思いますが、
三次曲線に当てはめる場合は、ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ　と置き、
４本の連立方程式でａ～ｄを求めます。
以下、四次だと５本、五次だと６本です。

お礼

夜分にもかかわらず、詳細なご回答有難うございました。ｎ次関数の定数(a,b,cなど）はエクセルのソルバーを用いて求めても良いですか。また、ｙ＝ax^2+bx+cをxで微分すれば加速度が求められるとのことですが、エクセルを用いて行える微分についてご教示願えれば助かります。このたびは有難うございました。

回答No.1

h_bopper2002

近似曲線はエクセルで簡単に求められます。
１．得られたデータをエクセルに入力し、散布図などのグラフを作成する。
２．作成したグラフを選択して、プルダウンメニューに「グラフ」を出す。
３．プルダウンメニューを、「グラフ」→「近似曲線の追加」と選択。
４．タブ「種類」にて、「多項式近似」を選択し、「次数」を３以上にする。
５．タブ「オプション」にて、「グラフに数式を表示する」を選択してOKを押す。

上記で得られた式を微分すれば、身長発育加速度を示す関数が得られます。
その関数に具体的な値を代入すれば、特定の時間の加速度が得られます。

お礼

迅速なご回答、有難うございました。私もエクセルで3次関数で近似曲線を描いてみましたが、それだと
X軸の値が大きくなると曲線が再び上方へ向かい（Y値が上昇）、X軸が漸近線になりません。どうしたらよいでしょうか。
それと、３次関数の微分により身長発育加速度の求め方もエクセルで処理できますか。
お忙しいところ、すみませんがよろしくお願いします。