e^xのtaylor展開を用いて、eを計算し、厳密値と比較せよ。

質問

e^xのtaylor展開を用いて、eを計算し、厳密値と比較せよ。
どうやって、eを計算したらよいのか教えてください。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

ANo.1です。

> どうして、今回はx=1のみの代入でよいのでしょうか？

理由はANo.1の1行目に書いてあるとおりです。

e^xのtaylor展開の式は

e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + …
(右辺がe^xをtaylor展開したもの)

となります。イコールで結ばれているので、見た目が違っても
「e^x」と「e^xをtaylor展開したもの」は全く同じものです。
この「全く同じもの」という点がとても大事です。

関数e^xにx = 1を代入すればeとなるのですから、
「e^xをtayllor展開したもの」にx = 1を代入してもeになるはずですよね。
e^xも「e^xをtaylor展開したもの」も全く同じものなのですから。

数式を用いて書くなら

e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + …
↓　(x = 1を代入)
e = 1 + 1 + (1^2)/2 + (1^3)/6 + …

となります。

(補足)
x = 1以外のものを代入した場合、例えばx = 5を代入すれば

e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + …
↓
e^5 = 1 + 5 + (5^2)/2 + (5^3)/6 + …

となります。
よって「e^xをtaylor展開したもの」にx = 5を代入するとe^5が計算できます。

このようにxに1以外のものを代入しても、eは計算されません。
x = 1.2を代入すればe^1.2が計算されますし、
x = -1/3を代入すればe^(-1/3)が計算されます。
だからx = 1だけで良いんです。

お礼

ありがとうございます。丁寧に教えていただいて。どうして、x=1のみの代入でよいのかがよくわかりました。

回答No.1

R_Earl

関数e^xにx = 1を代入すればe^1 = eが計算できます。
なので今回は「e^xをtaylor展開したもの」に対し、x = 1を代入して下さい。
項が無限にあるので、適当なところで計算を打ち切ってください。

補足

ありがとうございます。
7項まで計算して、2.7180…と出てきましたが、どうして、今回はx=1のみの代入でよいのでしょうか？
おしえてください。