• 締切済み

2次行列Aにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持

2次行列Aにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持つならば、その関数はdetに一致することを証明せよ    これは線形代数の行列式の問題です。 回答よろしくお願いします。

みんなの回答

noname#152421
noname#152421
回答No.4

「線形性」じゃなくて「多重線形性」では? Aを列ベクトルの組で表して、その関数による値を、多重線形性、交代性、正規性(これは単位行列だと1という意味?)の順でバラしていけば何にも考えずにできます。 何故2次なんでしょう?一般のd次でも同じです。

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.3

自己校訂。  f(A) = f([ae1+ce2, be1+de2])   = f(a[e1, be1+de2] + c[e2, be1+de2]) = f(a[e1, de2] + c[e2, be1])   = f(a[e1, de2] - c[be1, e2])   = ad - bc けっこう、粗忽。       

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

>2次行列Aにある値を対応させる関数があって、線形性と交代性と正規性を持つならば、その関数はdetに一致することを証明せよ ..... 回答不能な堂々巡りの問いなのでは…? とりあえず、関数 f(A) で写された「ある値」を。 2次正方行列 A を列 [v, w] で表示。v = [a, c]~, w = [b, d]~ ( ~ は行列転置)。 2次正方単位行列 I を列 [e1, e2] で表示。e1 = [1, 0]~, e2 = [0, 1]~ とする。 関数 f(A) = のプロパティ。 ・(多重)線形性: f([pv1 + qv2], w] = p*f([v1, w]) + q*f[(v2, w)] ・交代性: f([w, v]) = -f([v, w]) ⇒ f([v, v]) = 0 ・規格化条件: f([e1, e2]) = 1 ⇒ f([e2, e1]) = -1  A = [v, w] = [ae1+ce2, be1+de2] だから、  f(A) = f([ae1+ce2, be1+de2])   = f(a[e1, be1+de2] + c*[e2, be1+de2]) = f(a[e1, de2] + c*[e2, be1])   = f(a[e1, de2] - c*[be1,e1])   = ad - bc 端折ったところは推理して。ついでに校訂も…。      

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「線形性」「交代性」「正規性」を行列の成分で書いてください.

関連するQ&A

  • 行列式の線型性と交代性

    行列式 |A| において i ≠ j なる i , j について、 a_i1△_j1 + a_i2△_j2 + ・・・ + a_in△_jn = 0 (1) a_1i△_1j + a_2i△_2j + ・・・ + a_ni△_nj = 0 (2) が成り立つ. ※ a_ij ・・・ 行列 A の i 行 j 列成分 △_ij ・・・ 行列 A の i 行 j 列成分の余因子 これが正しいことを教科書で証明してあるのですが、理解できません。 教科書の証明は以下の通りです。 ----- 第 i 行と第 j 行が等しい行列式を第 j 行で展開したものが上の式(1)であり、 第 i 列と第 j 列が等しい行列式を第 j 列で展開したものが下の式(2)である。 どちらも、 「2つの行や列が等しい行列 A の行列式は 0 である」 という定理より0である。 ----- 上記の証明より、2つの行や列が等しい行列の i ≠ j の場合に(1)、(2)が成り立つことは理解できます。 ですが、2つの行や列が等しくない行列の i ≠ j でも一般的に成り立つということが理解できません。 行列式の線型性と交代性からうまく証明できるのでしょうか? 詳しい方、ご教授よろしくお願いします。

  • 線形代数と行列の関係

    行列は、大学では線形代数、ベクトル(?)と関係があると聞いたのですが、これはどういう意味なのでしょうか? 教科書には線形代数・ベクトルとの関係はでてないので?です。 また行列は、数学では関数がよく関連してますが、関数とも関係があるのでしょうか? ちなみに今高3です。 宜しくお願いしますm(__)m

  • 交代行列

    実行列Aが交代行列のとき、I+Aは正則であることを証明せよ。 この問題が分かりません。よろしくお願いします。

  • 線形代数学 逆行列 証明 性質

    線形代数学の証明がわからないので解いていただけないでしょうか? A^2=Aならば、A=EであるかまたはAは正則行列ではない。 というものです。 お願いします。

  • 数学の線形代数の問題なのですが、n×nの2つのマトリックスA,Bがあり

    数学の線形代数の問題なのですが、n×nの2つのマトリックスA,Bがあります。AとBの積の行列式はAの行列式とBの行列式の積となるようです。 すなわち、det(AB)=det(A)det(B) です。これは任意のn(1以上の整数)で成り立つのでしょうか。 テキストを見たのですが、省略されているようです。n=2の場合は、計算が簡単なので確かめられますが、高次だったらどうなるでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 線形代数[行列]の証明問題

    線形代数[行列]の証明問題の解答を教えて下さい。 ※以下、Oは零行列、Eは単位行列を表す 1.Aが正則な対称行列であれば、Aインバース(Aの逆行列)も対称行列になることを示せ。 2.Aの3乗=Oのとき、E+A、E-Aはともに正則行列になることを示せ。

  • 線形代数 行列について

    線形代数の行列について 下の5.6の問題を解いてください。 解ける問題だけでもお願いします 解答は写真で送ってくださっても結構です。

  • 線形代数 行列について

    線形代数の行列について 下の6.7.8問題を解いてください。 解ける問題だけでもお願いします 解答は写真で送ってくださっても結構です。

  • 線形代数学~グラムの行列式~

     線形代数学の問題でどうしても分からないものがあったので教えて頂きたいです。  Q.Rmのベクトルv1,v2,・・・,vrが一次従属であるための必要十分条件は (グラムの行列式)=0 であることを証明せよ。

  • 正規行列

    "Aが正規であることと、A=B+iC であって、B、Cが可換な自己共役行列となる様にB、Cが取れることとは同等である” との命題ですが A=B+iC であって、B、Cが可換な自己共役行列 ならば、Aが正規となる ことは理解できます。 この逆 Aが正規ならば、A=B+iC であって、B、Cが可換な自己共役行列 となるようにB、Cがとれる。 は、どのように証明したらよいのでしょうか? お分かりの方よろしくお願いします。 参考:p18 ”リー代数と素粒子論” 竹内外史 著