宇宙が無限であることの証明について

質問

宇宙が無限であることの証明について
先日このようなトピックがあがっていました。
http://okwave.jp/qa/q5935653.html?from=navi_ranking
この証明に対し、私はどうしても納得することが出来ません。
この証明が正しいと思う人はなぜ正しいのか教えてください。

証明方法は２つあり、以下のようになっています。

証明その１

宇宙が無限であることを証明する。

背理法により行う。

仮に宇宙が有限であるとする。

すると適当な大きさの半径R[ｍ]の球体G0により宇宙全体を包み込むことができる。
次に、この球体の半径Rより1ｍ大きな球体G1を考える。
G0とG1を同心としたとき、G1とG0の差分として1ｍの厚みを持つ球面体（G1-G0）が得られる。
球面体（G1-G0）は球体G0の外部にあるがこれも空間を構成するのでやはり宇宙の一部である。
なぜなら任意の空間は宇宙の部分であるからである。
つまり適当な大きさの半径R[ｍ]の球体G0により宇宙全体を包み込むことができるとした最初の仮定は矛盾を生む。
従って宇宙は有限では有り得ない。
宇宙は無限である。

証明その２

ここに宇宙αが存在する。

宇宙αは有限であると仮定する（1）

（1)が正しければ、境界が存在する-(2)　

　※境界が存在しなければ有限である証明が出来ず、(1)は否定される-(2*）

（2）が正しければ、境界には外側が存在する-(3)

　※外側が存在しなければ(3)は否定され(2*)に戻る

（3）が正しいとして、2つの仮定を提示する。

　　　1.境界の外側は宇宙αと同じ要素で構成されている-(4)

　　　2.境界の外側は宇宙αと異なる要素で構成されている-(5)

（4）が正しければ、境界の内外の差別化が困難になり

　　 境界は意味を失って(2)は否定され、それによって(1)も否定される。

（5）が正しければ、宇宙αを内包する、宇宙αとは異なる空間が存在することになる。

仮にこれを宇宙βとする。

仮定(1)を証明することによって宇宙βが生まれたが、
仮定(1)を宇宙βに当てはめると、宇宙γが生まれることになる。
さらに宇宙γに仮定(1)を当てはめ・・・と繰り返すと、
有限の宇宙を内包する別宇宙が無限に生まれることになる。

私がこの証明が違うと思う理由
その１について
・空間は宇宙の一部というのなら宇宙全体を囲む為の空間など存在しない。
⇔宇宙全体を包む球が定義出来なくなり、証明自体が破綻してしまうから。
・宇宙が有限と仮定しているのにそれより大きい球を想定している。

その２について
・境界が存在しない⇔有限ではない　は成り立たないから（例ボールの表面等）

そもそも、宇宙の外に別に定義される空間があるかないかという議論が必要だと思いますし、
本当に正しいと思うのなら学会で発表すればいいと思うのですが…
これって新手のジョークですかね？

回答No.6

SPROCKETER

屁理屈捏ねただけのジョークでしょうね。

　宇宙が有限なのは子供でも理解出来る証明があります。以下のようなものです。

１．宇宙が無限に大きければ、質量も無限に大きくなり、夜空に輝く星や銀河の数も無限に大きくなるので、宇宙は超高温の光り輝く火の玉となり、重力が無限に大きなブラックホールとなり、我々人類が生きていられるような世界では無くなる。

２．宇宙が無限に大きければ、時間も無限でなければならず、始まりと終わりがないので時間が流れない宇宙になる。

３．宇宙が無限に大きければ、宇宙全体から受ける重力が無限大となり、素粒子レベルで崩壊が起こって物質が安定して存在出来ない。

　他にも宇宙が有限である証明はたくさんありますが、宇宙が有限であるからこそ、何もかも有限なわけで、宇宙が無限だったら何もかも無限になり、有限な存在である人間がいるはずがないのです。

回答No.5

ok9608

No.4です。ご理解頂いたように定義（公理化）が論理証明の対象にならない　と考えます。問題の例題の場合、空間は無限大は論理証明されます。がそれと宇宙とは定義でしか結びついてないのです。宇宙が空間の証明ではないのです。これは論理証明できないのです。ユークリッド幾何学の平行線は交わらない　を証明（論理証明はできません）しようとしていると同じです。では　はじめに　宇宙は無限大と定義したらどうか　ですが　これも定義ですから証明できません。

回答No.4

ok9608

質問者さんの疑問は当然です。そもそも　宇宙が有限か無限か　は論理証明の対象ではないのです。なぜか、それは　定義があるからです。定義は論理証明の対象ではないのです。数学で例えれば　ユークリッド幾何学の　平行線は交わらない　を論理証明しているようなものです。
それでは　証明者の定義部分とは
(1)宇宙は空間である（と定義する）
(2)空間は無限であるを証明する（数学的に）
(3)だから宇宙は無限である（と結論づける）
これは空間は無限であるの証明であっても宇宙は空間であるの証明ではないのです。もう一つの例を示します。
(4)人間は小石である（と定義する）
(5)小石は生物ではないことを証明する（科学的に）
(6)だから人間は生物ではない（と結論づける）
これも定義の証明にはなってないのです。
この定義が論理証明できない　の議論はゲーデルの不完全性定理の拡張した理論になると思います。

私は　宇宙は　物理学が　今よりもっと明らかにしてくれると思っていますが、密かには有限（勿論論理証明されない）ではないかと思っています。

お礼

回答ありがとうございます。
ゲーテルの不完全性定理というのは、証明出来ない命題があるという話が含まれるものでしたよね。
>(1)宇宙は空間である（と定義する）
>(2)空間は無限であるを証明する（数学的に）
>(3)だから宇宙は無限である（と結論づける）
これは宇宙は空間であるの証明にはなりませんが、宇宙が無限であるの証明にはならないのでしょうか？
宇宙＝空間と定義して、空間＝∞と証明出来れば宇宙＝空間＝∞になってしまいそうな気がしますが…。
でもそうすると宇宙が無限という言葉の意味が分からなくなってきそうですね（笑）
私も宇宙は有限だと思っていますよ。（少なくとも３次元上では）
ビックバン説を支持すると、自動的に宇宙は有限になると思います。

回答No.3

tak7171

質問者様の言う証明その2を垂れ流してしまった者です。
複数のカテでこの論が一人歩きしているような今の状況に辟易し、
関連Qにはもうタッチせず傍観するつもりでいましたが、
今回だけ答えさせてください。

私も証明その1はおかしいと思いました。
そこで証明その1のやり方だけを真似て、
辻褄が合うように作り直しましたが
それでも私はこの論を詭弁だと思っています。
私がネックだと思っていたのはroot_16様の最後の段落

>つきつめると、宇宙自体の定義によりますね。
>空間に宇宙以外の定義が無いと前提すれば、
>宇宙は無限という結論になるでしょう。

これに尽きます。
だから論中でこう書いたのです。

>宇宙αとは異なる空間が存在することになる。
>仮にこれを宇宙βとする。

我ながらずるいですよね。例え外側があっても、
それが空間かマスかそもそも何モノかわからないのに、
論の展開に有利になるように
空間とか宇宙だなんて仮定しているのですから。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

最後に質問者様にもうひとつだけ。

ボールの表面云々という話が一層この話を紛糾させています。
それだと宇宙を外側から見るものと仮定していませんか？
それは人間ではなく超越者の目線です。
私はあくまで人間の目線という前提で考えました。
人間が自分を取り囲む宇宙を認識し、
有限か無限か疑問を持つから観測が始まるのですよ。
だからここでボールを引き合いに出すのなら、
観測者はボールの中にいるのです。
ボールの内側は辺の無い面で完全に閉じられているでしょう？
私はその「辺の無い面」自体を、内と外を分かつ境界としただけです。

長々失礼しました。

>新手のジョーク

そうですね、それが一番いいと思います。

お礼

同じような話を色々なところで聞いている中、回答していただいてありがとうございます。
質問者さんが物凄く推していたのでこちらの証明も勝手ながら引用させていただきました。
やはり質問者さんの証明をなるべく矛盾なく通そうとしただけだったのですね。
空間には宇宙しかない、というのは
何か分からないけど何かあったらそれは宇宙だ！と見るといった感じでしょうか。
確かにそう見ればtak7171さんの証明は矛盾が無いかもしれません・・。
ボールの話はちょっと伝えたい意味が違ったのですが、考案者の考えが聞けて良かったです。
ボールの話で伝えたかったのは、「有限だけれども境界がない」という事で、
ボールの話だと表面と言う平面（曲面）上の話、つまり２次元での話なのですが、
これが３次元上でも有り得るかもしれない（実例は分からないです。ごめんなさい。）という事です。
２次元上では有限だけど境界がないという物が存在する。
では３次元上でも有限だけど境界がないという物が存在するのではないか？という風に考えたのです。

しかし彼は東工大名誉教授に見てもらおうと息巻いてましたが大丈夫なんでしょうか・・・

回答No.2

rabbit_cat

そもそも、ここでいう「有限」というのはどういう意味なのか、まずその定義をはっきりさせることから始めないと話ができません。
とにかくここでいう「有限」とは何を意味しているのかをはっきりさせない限り、証明自体も、その反論もナンセンスですね。

あとは、多様体（微分幾何）について、少し勉強するといいかもしれないですね。
普通、宇宙といったら、宇宙の中だけを考えて、宇宙の外側がどうなっているかは、全く考えないです。
というか、そもそも宇宙を考えるときには、宇宙の外側について考える必要性がないです。
多様体を考えるときには、多様体の外側を考える必要は全くないです。多様体の中だけで話が完全に閉じます。
で、それとは別に、多様体をＲ＾ｎ空間に埋め込むという話はあって、この埋め込みを考えて初めて、多様体の外側という概念が出てきます。

お礼

解答ありがとうございます。
私は浅識なので、「有限」という言葉の意味は「限りが有る」というものしか知りません。
Yahoo辞書で調べてみるとこのように出てきました。

ゆう‐げん〔イウ‐〕【有限】

［名・形動］かぎりがあること。限度・限界があること。また、そのさま。「―な（の）資源」⇔無限。
他に意味の取り方があれば教えていただければ幸いです。

多様体についても今急いで斜め読みしてきたので曖昧ですが、
宇宙はまぁどこでも座興軸を決めて座標を設定出来ると思うので、多様体だなぁとは思います。
しかしこれが証明の中でどのように生かされるのか分かりません。
宇宙の中だけで話が完結出来て、かつ筋道が通った証明になるのでしたら納得出来るのですが、
私はまだそのような証明を考えることが出来ないです。
こちらの方も分かりやすく教えていただけたらと思います。

回答No.1

root_16

宇宙を有限と仮定し、
宇宙の外側を宇宙とは別の定義の空間、
例えば亜空間とでもすれば何の問題もない。

宇宙αの外側に別に定義された空間、
それも宇宙βだ、とするから
αとβが混ざって境界が無くなるのだと思います。

外側を宇宙以外の空間とすると、
有限の宇宙の外側に無限の
色々な定義の空間ができちゃうかもしれませんが、
宇宙は有限であることに論理的矛盾はありません。

つきつめると、宇宙自体の定義によりますね。
空間に宇宙以外の定義が無いと前提すれば、
宇宙は無限という結論になるでしょう。

お礼

解答ありがとうございます。
空間とは宇宙のことだ！としてしまうと宇宙は無限にある、ということでしょうか？
この証明の場合、有限であると仮定し、背理法によって無限であると示そうとしているので、
空間＝宇宙のどこか　みたいな定義をすると、宇宙を包み込めるような球って？となってしまうのです。
意味を取り違えていたらごめんなさい。