円形コイル電流について

質問

円形コイル電流について
Δs=(-asinθΔθ、acosθΔθ、0)
rQ=(acosθ、asinθ、0)
rP-rQ=(x-acosθ、y-asinθ、z)
|rP-rQ|=√(x^2+y^2+z^2-2axcosθ-2aysinθ+a^2)
P=(x,y,z)
中心を原点に置きxy面内にある半径aの円形コイルに電流Iを流しました。
原点からaに比べて十分大きな距離にある点p=(x,y,z)における磁場は、磁気双極子の磁場となることを示す。

r=√(x^2+y^2+z^2)>>aであるならば
(1/|rP-rQ|^3)=(1/r^3)[1+(3/r^3)(axcosθ+aysinθ)+………]
とあるんですがなんでこういう近似式になるんでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

|rP-rQ|=√(x^2+y^2+z^2-2axcosθ-2aysinθ+a^2)
=r(1-(2axcosθ+2aysinθ-a^2)/r^2)^(1/2)
よって
1/|rP-rQ|^3)=(r^(-3))(1-(2axcosθ+2aysinθ-a^2)/r^2)^(-3/2)
x<<1のとき(1-x)^p=1-pxを使うと
1/|rP-rQ|^3)=(r^(-3))(1+(3(axcosθ+aysinθ)-3a^2/2)/r^2)
=(1/r^3)(1+(3/r^2)(axcosθ+aysinθ-a^2/2))

お礼

ありがとうございました。

補足

教科書では、(1/r^3)(1+(3/r^2)の部分でr^2のところがr^3になってるんですが自分もr^2が正しいと思います。
教科書の間違いですよね？